Motivation
In many practical cases the reservoir fluid flow created by well is getting aligned with a radial direction towards or away from well.
This type of reservoir fluid flow is called radial fluid flow and corresponding pressure diffusion models provide a diagnostic basis for pressure-rate base reservoir flow analysis.
The radial flow can be infinite acting or boundary dominated or transiting from one to another.
Although the actual reservoir fluid flow may not have an axial symmetry around the well-reservoir contact or around reservoir inhomogeneities (like boundary and faults and composite areas) but still in many practical cases the long-term correlation between the flowrate and bottom-hole pressure response can be approximated by a radial flow pressure model
Physical Model
Mathematical Model
| Expand |
|---|
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = 0 \Leftrightarrow \, \frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial r} =0 |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \left[ r\frac{\partial p(t, r )}{\partial r} \right]_{r \rightarrow r_w} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
|
|
| Expand |
|---|
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| p(r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln \frac{r_e}{r_w} |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| p_{wf} = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \bigg[ - 2S + \ln \frac{r_e}{r_w} \bigg] |
|
|
Applications
Equations
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
and
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
show how the
basic diffusion model parameters impact the pressure response while other diffusion parameters are encoded in
function and play important methodological role as they are used in many algorithms and express-methods of
Pressure Testing.
| Expand |
|---|
| title | Line Source Solution |
|---|
|
In case of infinite homogeneous reservoir, produced by a infinitely small vertical well with no skin and no wellbore storage the function has an exact analytical formula, given by exponential integral | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | F(z) = {\rm Ei}_1 (z) |
|---|
|
(see Line Source Solution (LSS) @model).
|
| Expand |
|---|
| title | Productivity Index Analysis |
|---|
|
The Productivity Index for single-phase low-compressibility fluid and low-compressibility rocks does not depend on formation pressure, bottom-hole pressure and the flow rate and can be expressed as: | LaTeX Math Block |
|---|
| J(t) = \frac{q_t}{p_i - p_{wf}(t)} =\frac{ 4 \pi \sigma }{ 2S - F \bigg( - \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) } |
|
| Expand |
|---|
|
Isobar equation for a constant-rate production: | LaTeX Math Block |
|---|
| p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, F \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) = {\rm const} \quad \rightarrow \quad \frac{r^2}{4 \chi t}= {\rm const} |
Since the pressure disturbance at
moment was at well walls then the formula for constant-pressure front propagation becomes:| LaTeX Math Block |
|---|
| r(t) = r_w + 2 \sqrt{\chi t} |
This leads to estimation of isobar velocity: | LaTeX Math Block |
|---|
| u_p(t) = \sqrt{\frac{\chi}{t}}
|
|
See Also
Physics / Mechanics / Continuum mechanics / Fluid Mechanics / Fluid Dynamics / Radial fluid flow
Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing / Pressure Testing
[ Well & Reservoir Surveillance ] [ Pressure diffusion @model ][ Line Source Solution (LSS) @model ]
[ Linear Flow Pressure Diffusion @model ]
| Show If |
|---|
|
| Panel |
|---|
|
| Expand |
|---|
| but this only works for the middle-times and long-times as early times are influenced by wellbore storage and non-linear effects of skin.
| Expand |
|---|
| | Include Page |
|---|
| Line Source Solution (LSS) |
|---|
| Line Source Solution (LSS) |
|---|
|
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) |
Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины , с радиальной координатой в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке (где – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением .
Пусть в момент времени
скважина запускается с дебитом (в пересчете на пластовые условия).Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) |
с начальным условием: | LaTeX Math Block |
|---|
| p(t = 0, r) = p_i |
и граничными условиями: | LaTeX Math Block |
|---|
| p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i |
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | Boundary_q |
|---|
| alignment | left |
|---|
| r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
где | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \sigma = \frac{k \, h}{\mu} |
|---|
|
– гидропроводность пласта, | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \chi = \frac{k}{\mu} \, \frac{1}{\phi \, c_t} |
|---|
|
– пьезопроводность пласта, – проницаемость пласта, – пористость пласта, – сжимаемость пласта, – сжимаемость порового коллектора, – сжимаемость насыщающего пласт флюида, – вязкость насыщающего пласт флюида.
При анализе отклика давления на самой скважине ( ) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию:| LaTeX Math Block |
|---|
| t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}
|
которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | {\rm Ei}(-x) \sim \ln (x) + \gamma \sim \ln (1.781 x) |
|---|
|
, где – постоянная Эйлера.
Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:
| LaTeX Math Block |
|---|
| p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) |
Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:
| LaTeX Math Block |
|---|
| \delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln t |
а логарифмическая производная становится постоянной во времени: | LaTeX Math Block |
|---|
| t \frac{d (\delta p)}{dt} \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma} |
В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.
|
|
|
