...

Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent  with 3-phase Oil + Gas + Water fluid model which assumes that pressure diffusion is equivalent to single-phase diffusion with constant specifically averaged dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation with constant coefficients: 

\phi \, c_t \, \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big)  = \sum_k \, q_k(t) \cdot \delta(\mathbf{r}) -\delta(\mathbf{r}_k)

where

p = \frac{1}{3} \cdot \left( p_w + p_o + 

p_g 

\right)

q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_

s \, B_g) \, q_O + (B_g - R_

v \, B_o) \, q_G

B_w, \ B_o, \ B_g 

\phi(\mathbf{r})

s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r})  \}

c_t = c_r + c_w s_w +  c_o s_o +  c_g s_g  + s_o [ R_{sp} + (c_r  + c_o)  R_{sn} ] + s_g [ R_{vp} + R_{vn}(c_r + c_g) ]

с_r

с_w, \ с_o, \ с_g

M = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big)

M_w = k_a \cdot M_{rw}

M_o = k_a \cdot M_{ro}

M_g = k_a \cdot M_{rg}

M_{rw} = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}

M_{ro} = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}

M_{rg} = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}

k_a(\mathbf{r})

\mu_w, \ \mu_o, \ \mu_g

R_{sn} = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g}

R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g}

\rho = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro}  (1 + R_{sn}) \rho_o  + M_{rg}  (1+R_{vn}) \rho_g }{ M_{rw}  + M_{ro}  (1 + R_{sn})  + M_{rg}  (1+R_{vn}) }

g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2

 \big (   \big)^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dp}

All the above dynamic properties are calculated at reference pressure

...

For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test: 

p_{\rm ref} = p_{wf}(t=0)

...

For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure: 

p_{\rm ref} = p_e

Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.

При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.

The above equations 

In case of Black Oil fluid model Для случае черной нефти (

q_t =  B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O)

c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g  + R_{sp} s_o 

M(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = 

M_w(s) + 

M_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) 

\rho

 = \frac{ 

M_{rw} \rho_w + 

M_{ro}

(1 + R_{sn}) \rho_o  + 

M_{rg} \rho_g  }{ 

M_{rw}  + 

M_{ro}  (1 + R_{sn})  + 

M_{rg}  }

Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше: 

For the 2-phase Oil + Water fluid model (where  Linear Perrine multi-phase diffusion mode is the most accurate ) the above equations are getting even simpler:

q_t = B_w \, 

q_W + B_o  q_O

c_t(s) = c_r  + c_w s_w + c_o s_o

M(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = 

M_w(s) + 

M_o(s)

\rho

 = \frac{ 

M_{rw} \rho_w + 

M_{ro} \rho_o   }{ 

M_{rw}  + 

M_{ro}}

\sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\,  \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg] 

Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
 

• дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
   
• вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта, 
   
• а также от чего именно и в какой степени они зависят

Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом. 

При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина. 

Despite the fact that in many practical cases the Linear Perrine multi-phase diffusion model leads to inaccurate pressure predictions it still:

• provides fair understanding on how pressure responds to multi-phase intakes to or offtakes from formation
  
  
• introduce a concept of multiphase transmissibility, diffusivity, compressibility, mobility and total sandface flowrate which are very helpful in multiphase dynamic analysis
  
  
• provides fair understanding on how the above properties depend on reservoir porosity, permeability, saturation, compressibility and PVT/SCAL model
  
  

This makes Linear Perrine multi-phase diffusion model a helpful analytical and  methodological tool for multiphase dynamic analysis.

One should remember that high content of light oil and gas in reservoir and high drawdowns deteriorate the accuracy of Linear Perrine multi-phase diffusion model.

More accurate pressure estimations are provided by the following pressure diffusion modelsБолее аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
 

• Pseudo-linear multi-phase diffusion model
   
• Non-linear multi-phase diffusion model
   
• Volatile Oil and Black Oil dynamic flow models

See also

...

Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing

[ Pressure diffusion models ] [ Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation ]

Reference

...

...

1. Anchor
   Perrine Perrine

Perrine
2.  Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
   
   

3. Anchor

 

4. Martin Martin

    SPE-1235-G,
5. Martin, J.C. 1959. , Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
    Пример оформления ОФП.xls, 1959