Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent single-phase diffusion with constant dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi c_t \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big) = q_t(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r})\end{array}$

where

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G\end{array}$

total sandface flowrate at reservoir location $\begin{array}{l}\mathbf{r}\end{array}$

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_w, \ B_o, \ B_g\end{array}$

formation volume factors at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi(\mathbf{r})\end{array}$

effective porosity in reservoir location $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$ at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \}\end{array}$

reservoir saturation as a function of location $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t = c_r + c_w s_w + c_o s_o + c_g s_g + s_o [ R_{sp} + (c_r + c_o) R_{sn} ] + s_g [ R_{vp} + R_{vn}(c_r + c_g) ]\end{array}$

total multiphase compressibility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle с_r\end{array}$

reservoir pore compressibility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle с_w, \ с_o, \ с_g\end{array}$

fluid compressibilities at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle M = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big)\end{array}$

total fluid mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_w = k_a \cdot M_{rw}\end{array}$

water mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_o = k_a \cdot M_{ro}\end{array}$

oil mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_g = k_a \cdot M_{rg}\end{array}$

gas mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_{rw} = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}\end{array}$

relative water mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_{ro} = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}\end{array}$

relative oil mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_{rg} = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}\end{array}$

relative gas mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(16)	$\begin{array}{l}\displaystyle k_a(\mathbf{r})\end{array}$

absolute permeability as a function of location $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$ at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$

(17)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mu_w, \ \mu_o, \ \mu_g\end{array}$

water, oil, gas dynamic viscosity at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(18)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sn} = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g}\end{array}$

normalized cross-phase exchange ratios at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(19)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g}\end{array}$

normalized cross-phase exchange derivatives at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(20)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro} (1 + R_{sn}) \rho_o + M_{rg} (1+R_{vn}) \rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} (1+R_{vn}) }\end{array}$

mobility-weighted fluid density at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(21)	$\begin{array}{l}\displaystyle g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2\end{array}$

standard gravity

(22)	$\begin{array}{l}\displaystyle \big ( \big)^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dp}\end{array}$

differentiation with respect to the pressure

All the above dynamic properties are calculated at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$ thus making (1) a linear partial differential equation.

The reference temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$ is more or less in practical cases.

The choice of the reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ depends on the task.

For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test:

$\begin{array}{l}\displaystyle p_{\rm ref} = p_{wf}(t=0)\end{array}$

For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure:

$\begin{array}{l}\displaystyle p_{\rm ref} = p_e\end{array}$

Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.

При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.

Вышеприведенные формулы (3) –

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=18 could not be found.

представляют собой обобщение оригинальной модели ( ^[1], ^[2] ) на случай летучей нефти.

Для случае черной нефти ( $\begin{array}{l}R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0\end{array}$ ) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:

(23)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O)\end{array}$

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(24)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(25)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(26)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} }\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:

(27)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = B_w \, q_W + B_o q_O\end{array}$

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(28)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(29)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(30)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(31)	$\begin{array}{l}\displaystyle \sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\, \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg]\end{array}$

гидропроводность пласта при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:

дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
а также от чего именно и в какой степени они зависят

Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.

При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.

Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:

Reference

Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
Пример оформления ОФП.xls

Page tree

See also

Reference

Page tree

Linear Perrine multi-phase diffusion @model

See also

Reference