...
Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent with 3-phase Oil + Gas + Water fluid model which assumes that pressure diffusion is equivalent to single-phase diffusion with constant specifically averaged dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation with constant coefficients:
LaTeX Math Block |
---|
anchor | D3Z52DiffP |
---|
alignment | left |
---|
|
\phi \, c_t \, \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big) = \sum_k \, q_k(t) \cdot \delta(\mathbf{r}) \delta(-\mathbf{r}_k) |
where
mathblockanchorqtalignmentleft | q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g)body | --uriencoded--%7B\rm r%7D = (x,y,z) |
---|
|
| reservoir location |
LaTeX Math Inline |
---|
body | --uriencoded--\mathbf%7Br%7D_k |
---|
|
| |
LaTeX Math Block |
---|
| p = \frac{1}{3} \cdot \left( p_w + p_o + p_g \right) |
|
3-phase average reservoir pressure |
LaTeX Math Block |
---|
| q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_ |
|
OgoGO + (B_g - R_v \, B_o) \, q_G |
| |
total =w(p_{\rm ref}, T ref}), \ B_o = B_o(p_{\rm ref}, ), \ B_g = B_g(p_{\rm ref}, T_{\rm ref})formation volume factors at reference pressure |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi(\mathbf{r}) |
| |
p_{\rm ref} | and temperatureT1\phi,p{\rm ref})effective porosity in reservoir location at reference pressure LaTeX Math Block |
---|
|
s(\mathbf{r}) = \{ s_ww(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_ |
|
o,\s_g(\mathbf{r}) \}(s,p, T) = c_r + c_w s_w + c_o s_o + c_g s_g + s_o [ R_{sp} + (c_r + c_o) R_{sn} ] + s_g [ R_{vp} + R_{vn}(c_r + c_g) ] |
| |
|
(p) (p, T)(p, T)(p, T) (s, p, T) = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big) |
| |
|
(s,p, T)(s,p, T)water mobility at (s,p, T)(s,p, T)(s,p, T)(s,p, T)(s, p, T)(p, T)(s,p, T)(p, T)(s,p, T)(p, T) | |
LaTeX Math Block |
---|
| k_a(\mathbf{r |
|
}, \ p_{\rm ref(p, T)(p, T)(p, T)(p, T) = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn} |
|
(p, T)(p, T) = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp} |
|
(p, T) = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} |
| |
|
(p, T) = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro} (1 + R_{sn}) \rho_o + M_{rg} (1+R_{vn}) \rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} (1+R_{vn}) } |
|
1 This
qweqwe
LaTeX Math Block |
---|
|
q_t = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G
|
All the above dynamic properties are calculated at reference pressure
and temperature thus making LaTeX Math Block Reference |
---|
|
a linear partial differential equation.The reference temperature
is more or less in practical cases.The choice of the reference pressure
depends on the task.
For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test:
...
...
...
...
...
For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure:
LaTeX Math Block |
---|
|
p_{\rm ref} |
...
...
formation volume factors at reference pressure
LaTeX Math Block |
---|
|
R_{sn}(p) = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn}(p) = \frac{R_v B_o}{B_g} |
The above equations
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
– LaTeX Math Block Reference |
---|
|
is generalization of original model ( [1], [2]) to the case of Volatile Oil fluid model.
In case of Black Oil fluid model (
LaTeX Math Inline |
---|
body | R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0 |
---|
|
) some equations are simplified:...
normalized cross-phase exchange derivatives at reference pressure LaTeX Math Inline |
---|
body | p_{\bf ref}R_{sp}(p) = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp}(p) = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} |
q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O) |
|
|
(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o |
|
(\mathbf{r}), \(\mathbf{r}) \}reservoir saturation as a function of location LaTeX Math Inline |
---|
body | \mathbf{r}0OM3Sc_tc_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+\Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = M_w(s) + M_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + |
|
c _g (1 + R_{vn}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \rho = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro}(1 + R_{ |
|
spsRvps_gtotal compressibility as function of reservoir saturation at reference pressure
LaTeX Math Block |
---|
|
с_r(p_{\rm ref}) |
reservoir pore compressibility at reference pressure
\rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} }
|
|
For the 2-phase Oil + Water fluid model (where Linear Perrine multi-phase diffusion mode is the most accurate ) the above equations are getting even simpler:
с(p_{\rm ref}), \ с_o(p_{\rm ref}), \ с_g(p_{\rm ref} fluid compressibilities at reference pressure LaTeX Math Inline |
---|
body | p_{\bf ref}RHTVXM, PMwMo \big( 1 + R_{sn} \big)Mg \big( 1 + R_{vn} \big)total fluid mobilityas function of reservoir saturation at reference pressure LaTeX Math Inline |
---|
body | p_{\bf ref}6OXKP_w,pk_a\frac{k} {\mu} \Big \rangle = M_ |
|
{rw},p,\quad,p)k_aro}(s,p), \quad M_g(s,p) = k_arw} \rho_w + M_{ro} \rho_o }{ M_{rw} + M_{ |
|
rg}(s,p)phase mobilitiesas functions of reservoir saturation at reference pressure LaTeX Math Block |
---|
|
k_a(\mathbf{r}) \bigg| _{p_{\bf ref}} |
распределение воздушной проницаемости пласта в объеме пород | LaTeX Math Block |
---|
|
\alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g} |
относительные фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
\mu_w = \mu_w(P_{\bf ref}), \quad \mu_o = \mu_o(P_{\bf ref}), \quad \mu_g = \mu_g(P_{\bf ref}) |
вязкость воды, нефти и газа при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }
|
гравитационная компонента потока при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
\rho_w = \rho_w(P_{\rm ref}), \ \rho_o = \rho_o(P_{\rm ref}), \ \rho_g = \rho_g(P_{\rm ref})
|
water, oil, gas densities at reference pressure | LaTeX Math Block |
---|
|
g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2 |
standard gravity
| LaTeX Math Block |
---|
|
\chi = \left \langle \frac{k} {\mu} \right \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg| _{p_{\bf ref}} |
hydraulic diffusivity at reference pressure LaTeX Math Block |
---|
|
\sigma = \alpha \ h = \left \langle \frac{k} {\mu} \right \rangle \ h \bigg| _{P_{\bf ref}} |
transmissibility at reference pressureтолщина пласта
Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.
При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.
Вышеприведенные формулы
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
– LaTeX Math Block Reference |
---|
|
представляют собой обобщение оригинальной модели ( [1], [2] ) на случай летучей нефти.Для случае черной нефти (
LaTeX Math Inline |
---|
body | R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0 |
---|
|
) некторые из вышеприведенных формул упрощаются: LaTeX Math Block |
---|
|
q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O) |
...
суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях
LaTeX Math Block |
---|
|
c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o |
...
эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении
LaTeX Math Block |
---|
|
\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) |
...
эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении
LaTeX Math Block |
---|
|
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} }
|
...
гравитационная компонента потока при опорном давлении
Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:
LaTeX Math Block |
---|
|
q_t = B_w \, q_W + B_o q_O |
...
суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях
LaTeX Math Block |
---|
|
c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o |
...
эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении
Despite the fact that in many practical cases the Linear Perrine multi-phase diffusion model leads to inaccurate pressure predictions it still:
- provides fair understanding on how pressure responds to multi-phase intakes to or offtakes from formation
- introduce a concept of multiphase transmissibility, diffusivity, compressibility, mobility and total sandface flowrate which are very helpful in multiphase dynamic analysis
- provides fair understanding on how the above properties depend on reservoir porosity, permeability, saturation, compressibility and PVT/SCAL model
This makes Linear Perrine multi-phase diffusion model a helpful analytical and methodological tool for multiphase dynamic analysis.
One should remember that high content of light oil and gas in reservoir and high drawdowns deteriorate the accuracy of Linear Perrine multi-phase diffusion model.
More accurate pressure estimations are provided by the following pressure diffusion models
LaTeX Math Block |
---|
|
\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) |
...
эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении
LaTeX Math Block |
---|
|
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}
|
...
гравитационная компонента потока при опорном давлении
LaTeX Math Block |
---|
anchor | Perrine2phase_alpha |
---|
alignment | left |
---|
|
\sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\, \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg] |
гидропроводность пласта при опорном давлении
Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
- дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
- вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
- а также от чего именно и в какой степени они зависят
Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.
При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.
Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
See alsoalso
...
Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing
[ Pressure diffusion models ] [ Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation ]
Reference
...
...
Perrine- Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
- SPE-1235-G,
- Martin, J.C. 1959. , Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
Пример оформления ОФП.xls, 1959