Specific case of general multi-phase pressure diffusion with 3-phase Oil + Gas + Water fluid model which assumes that pressure diffusion is equivalent to single-phase diffusion with specifically averaged dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation with constant coefficients:
LaTeX Math Block |
---|
|
\phi \, c_t \, \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big) = \sum_k \, q_k(t) \cdot \delta(\mathbf{r} -\mathbf{r}_k) |
where
| time |
LaTeX Math Inline |
---|
body | --uriencoded--%7B\rm r%7D = (x,y,z) |
---|
|
| reservoir location |
LaTeX Math Inline |
---|
body | --uriencoded--\mathbf%7Br%7D_k |
---|
|
| |
LaTeX Math Block |
---|
| p = \frac{1}{3} \cdot \left( p_w + p_o + p_g \right) |
|
3-phase average reservoir pressure |
LaTeX Math Block |
---|
| q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_s \, B_g) \, q_O + (B_g - R_v \, B_o) \, q_G |
| |
LaTeX Math Block |
---|
| B_w, \ B_o, \ B_g |
| |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi(\mathbf{r}) |
| |
LaTeX Math Block |
---|
| s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \} |
| reservoir saturation as a function of location
|
LaTeX Math Block |
---|
| c_t = c_r + c_w s_w + c_o s_o + c_g s_g + s_o [ R_{sp} + (c_r + c_o) R_{sn} ] + s_g [ R_{vp} + R_{vn}(c_r + c_g) ] |
| |
Если в исследуемой системе давление и распределение насыщенности в пласте (как вблизи, так и вдали от скважин) не успели сильно измениться за время исследования, то можно принять, что коэффициенты уравнения
LaTeX Math Block Reference |
---|
anchor | PZ |
---|
page | Multi-phase pressure diffusion @model |
---|
|
не зависят от давления (рассчитываются при одном значении опорного давления в пласте) и нелинейная мультифазная фильтрация может быть представлена как линейная фильтрация некого эффективного однофазного флюида, называемая моделью Перрина (Perrine): LaTeX Math Block |
---|
|
\phi c_t \partial_t P - \nabla \big( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big) = q(\mathbf{r}) |
где
LaTeX Math Block |
---|
|
q_t =
B_w \, q_W
+ \frac{B_o - R_v B_g}{1 - R_v R_s} \, q_O
+ \frac{B_g - R_s B_o}{1 - R_v R_s} \, q_G =
B_w \, q_W
+ B_o \, q_O \, \frac{1 - R_{vn}}{1 - R_{vn} R_{sn}}
+ B_g \, q_G \, \frac{1 - R_{sn}}{1 - R_{vn} R_{sn}}
|
total water, oil, gas sandface flowrate
LaTeX Math Block |
---|
|
B_w = B_w(P_{\rm ref}), \ B_o = B_o(P_{\rm ref}), \ B_g = B_g(P_{\rm ref}) |
объемный фактор воды, нефти и газа при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g} \bigg| _{P_{\bf ref}} \ , \quad
R_{sn} = \frac{R_s B_g}{B_o} \bigg| _{P_{\bf ref}} \ , \quad
R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} \bigg| _{P_{\bf ref}} \ , \quad
R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \bigg| _{P_{\bf ref}} |
нормированные обменные коэффициенты межфазного обмена при опорном давлении
LaTeX Math Block |
---|
|
s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \} |
распределение насыщенности водяной, нефтяной и газовой фаз в объеме пород | LaTeX Math Block |
---|
|
c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g |
эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
с_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d \phi}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad
с_w = \frac{1}{\rho_w} \frac{d \rho_w}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad
с_o = \frac{1}{\rho_o} \frac{d \rho_o}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad
с_g = \frac{1}{\rho_g} \frac{d \rho_g}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}} |
сжимаемости породы, воды, нефти и газа при опорном давлении LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{\bf \beta = \phi \, c_t \bigg| _{P_{\bf ref}} |
упругоемкость мультифазного пластаRHTVX\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) | |
LaTeX Math Block |
---|
| M = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + |
|
\alpha(s)эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении Pbf \alphaalpha}(s), \quad \alpha | |
LaTeX Math Block |
---|
| M_o = k_a \ |
|
alpha(s), \quad \alpha_g = k_a \alpha_{rg}(s)фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении Pbf 1распределение воздушной проницаемости пласта в объеме пород | (\mathbf{r}) \bigg| _{P_{\bf ref}}left | \alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s)roo}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}относительные фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении Pbf 1\mu_w = \mu_w(P_{\bf ref}), \quad \mu_omu_o(P\bf ref}), \quad \mu_g = \mu_g(P_{\bf ref})вязкость воды, нефти и газа при опорном давлении Pbf QL1DV\rho\alpha \alpharw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }
гравитационная компонента потока при опорном давлении LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{\bf QL1DV\rho_wrho_w(P_{\rm ref}), \ \rho_o = \rho_o(P_{\rm ref}), \ \rho_g = \rho_g(P_{\rm ref})
плотность воды, нефти а газа при опорном давлении frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g} |
| |
Pbf g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2 |
ускорение свободного падения (константа) | LaTeX Math Block |
---|
|
\chi = \frac{\alpha}{\beta} = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg| _{P_{\bf ref}} |
пьезопроводность пласта при опорном давлении R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} |
| |
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{\bf 1sigmaalpha \ h = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \ h \bigg| _{P_{\bf ref}}гидропроводность пласта при опорном давлении
толщина пласта
Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.
При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.
Вышеприведенные формулы
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
– LaTeX Math Block Reference |
---|
|
представляют собой обобщение оригинальной модели ( [1], [2] ) на случай летучей нефти.Для случае черной нефти (
LaTeX Math Inline |
---|
body | R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0 |
---|
|
) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro} (1 + R_{sn}) \rho_o + M_{rg} (1+R_{vn}) \rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} (1+R_{vn}) }
|
| |
|
q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O) |
суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях0OM3Sc_t(s) = c_r1+R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении |
All the above dynamic properties are calculated at reference pressure
and temperature thus making LaTeX Math Block Reference |
---|
|
a linear partial differential equation.The reference temperature
is more or less in practical cases.The choice of the reference pressure
depends on the task.
For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test:
LaTeX Math Block |
---|
|
p_{\rm ref} = p_{wf}(t=0) |
For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure:
LaTeX Math Block |
---|
|
p_{\rm ref} = p_e |
The above equations
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
– LaTeX Math Block Reference |
---|
|
is generalization of original model ( [1], [2]) to the case of Volatile Oil fluid model.
In case of Black Oil fluid model (
LaTeX Math Inline |
---|
body | R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0 |
---|
|
) some equations are simplified:
LaTeX Math Block |
---|
| q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| c_t(s) = c_r |
|
LaTeX Math Block |
---|
|
\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) |
эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + |
|
\alpha_{rg} }
гравитационная компонента потока при опорном давлении | Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:
c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o |
|
LaTeX Math Block |
---|
| M(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = M_w(s) + M_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| \rho = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro}(1 + R_{sn}) \rho_o + M_{rg} \rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} }
|
|
For the 2-phase Oil + Water fluid model (where Linear Perrine multi-phase diffusion mode is the most accurate ) the above equations are getting even simpler:
LaTeX Math Block |
---|
| q_t = B_w \, q_W + B_o q_O |
|
LaTeX Math Block |
---|
| c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o |
|
|
LaTeX Math Block |
---|
|
q_t = B_w \, q_W + B_o q_O |
суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях | LaTeX Math Block |
---|
|
c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o |
эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) |
эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
|
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}
|
гравитационная компонента потока при опорном давлении | LaTeX Math Block |
---|
anchor | Perrine2phase_alpha |
---|
alignment | left |
---|
|
\sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle |
|
\, h k \, h\, \Bigg[ \frac{k |
LaTeX Math Block |
---|
| \rho = \frac{ M_{rw} |
|
}{mu}\frac{k\mu_o} \Bigg] гидропроводность пласта при опорном давлении
Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
- дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
- вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
- а также от чего именно и в какой степени они зависят
Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.
При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.
Despite the fact that in many practical cases the Linear Perrine multi-phase diffusion model leads to inaccurate pressure predictions it still:
- provides fair understanding on how pressure responds to multi-phase intakes to or offtakes from formation
- introduce a concept of multiphase transmissibility, diffusivity, compressibility, mobility and total sandface flowrate which are very helpful in multiphase dynamic analysis
- provides fair understanding on how the above properties depend on reservoir porosity, permeability, saturation, compressibility and PVT/SCAL model
This makes Linear Perrine multi-phase diffusion model a helpful analytical and methodological tool for multiphase dynamic analysis.
One should remember that high content of light oil and gas in reservoir and high drawdowns deteriorate the accuracy of Linear Perrine multi-phase diffusion model.
More accurate pressure estimations are provided by the following pressure diffusion modelsБолее аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
See also
...
Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing
[ Pressure diffusion models ] [ Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation ]
Reference
...
...
Perrine- Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
- SPE-1235-G,
- Martin, J.C. 1959. , Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
Пример оформления ОФП.xls, 1959