Specific case of general multi-phase pressure diffusion with 3-phase Oil + Gas + Water fluid model which assumes that pressure diffusion is equivalent to single-phase diffusion with specifically averaged dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation with constant coefficients: 

\phi \, c_t \, \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big)  = \sum_k \, q_k(t) \cdot \delta(\mathbf{r} -\mathbf{r}_k)

where

Если в исследуемой системе давление и распределение насыщенности в пласте (как вблизи, так и вдали от скважин) не успели сильно измениться за время исследования, то можно принять, что коэффициенты уравнения 

\phi c_t \partial_t P - \nabla \big( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big)  = q(\mathbf{r})

где

q_t =
 B_w \, q_W
+ \frac{B_o - R_s B_g}{1 - R_v R_s} \, q_O
+ \frac{B_g - R_v B_o}{1 - R_v R_s} \, q_G =
 B_w \, q_W
+ B_o \, q_O \, \frac{1 - R_{sn}}{1 - R_{vn} R_{sn}} 
+ B_g  \, q_G \, \frac{1 - R_{vn}}{1 - R_{vn} R_{sn}}

p = 

\frac{1}{3} \cdot \left( p_w + p_o + p_g \right)

q_t(\mathbf{

r}) =

 q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_s \, B_g) \, q_O + (B_g - R_v \, B_o) \, q_G

B_w, \ B_o, \ B_g 

\phi(\mathbf{r})

s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r})  

\}

c_t

 = c_r

 + c_w s_w +  

c_

o s_o +  c_g s_g  + s_o [ R_{

sp}

 + (c_

r 

 + c_o) 

R_{sn}

 ] + 

s_g [ 

R_

{vp} + R_{vn

}(c_r + c_g) ]

с_r

с_

w, 

\ с_o, \ с_g

M = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big)

M_w = k_a \cdot M_{rw}

M_o = 

k_a \

cdot 

M_{ro}

M_g = 

k_a \cdot M_{rg}

M_{rw} = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}

M_{ro} = \frac{k_

{ro}(s)

}{\mu_o}

M_{rg} = \frac{k_

{

rg}(s)

}{\mu_g}

\alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}

k_a(\mathbf{r})

\mu_w, \ \mu_o, \ \mu_g

R_{sn} = \

frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad 

R_{vn} = \

frac{R_v B_o}{B_g}

R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp} = \frac{

\

dot R_v B_o}{B_g}

\rho = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro}  (1 + R_{sn}) \rho_o  + 

M_{rg}  (1+R_{vn})

 \rho_

g }{ M_{

rw}  + M_{ro}  (1 + R_{sn})  + M_{rg}  (1+R_{vn}) }

 g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2

 \chi = \frac{\alpha}{\beta} = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg| _{P_{\bf ref}}

g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2

\

big 

( 

 \

big)^{\LARGE \

cdot} = \frac{

d}{dp}

All the above dynamic properties are calculated at reference pressure

The reference temperature 

...

...

...

h

  is more or less in practical cases.

The choice of the reference pressure 

For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test: 

p_{\rm ref} = p_{wf}(t=0)

For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure: 

p_{\rm ref} = p_e

The above equations 

In case of Black Oil fluid model (

q_t

толщина пласта

Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.

При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.

Вышеприведенные формулы 

Для случае черной нефти (

 =  B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O)

c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_

g  + R_{sp} s_o 

M(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = 

M_w(s) + 

M_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) 

\rho

 = \frac{ 

M_{rw} \rho_w + 

M_{ro}

(1 + R_{sn}) \rho_o  + 

M_{rg} \rho_g  }{ 

M_{rw}  + 

M_{ro}  (1 + R_{sn})  + 

M_{rg}  }

For the 2-phase Oil + Water fluid model (where  Linear Perrine multi-phase diffusion mode is the most accurate ) the above equations are getting even simpler:Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше: 

q_t = B_w \, q_W + B_o  q_

O

c_t(s) = c_r  + c_w s_w + c_o s_o

M(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = 

M_w

(s) + M_o(s)

\rho

 = \frac{ 

M_{rw} \rho_w + 

M_{ro} \rho_o   }{ 

M_{rw}  + 

M_{ro}}

Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
 

• дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
   
• вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта, 
   
• а также от чего именно и в какой степени они зависят

Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом. 

При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина. 

Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
 

• приближения псевдолинейной псевдопотенциалов
   
• нелинейной пьезодинамической модели
   
• гидродинамической модели.

...

Despite the fact that in many practical cases the Linear Perrine multi-phase diffusion model leads to inaccurate pressure predictions it still:

• provides fair understanding on how pressure responds to multi-phase intakes to or offtakes from formation
  
  
• introduce a concept of multiphase transmissibility, diffusivity, compressibility, mobility and total sandface flowrate which are very helpful in multiphase dynamic analysis
  
  
• provides fair understanding on how the above properties depend on reservoir porosity, permeability, saturation, compressibility and PVT/SCAL model
  
  

This makes Linear Perrine multi-phase diffusion model a helpful analytical and  methodological tool for multiphase dynamic analysis.

One should remember that high content of light oil and gas in reservoir and high drawdowns deteriorate the accuracy of Linear Perrine multi-phase diffusion model.

More accurate pressure estimations are provided by the following pressure diffusion models:
 

• Pseudo-linear multi-phase diffusion model
   
• Non-linear multi-phase diffusion model
   
• Volatile Oil and Black Oil dynamic flow models

See also

...

Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing

[ Pressure diffusion models ] [ Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation ]

Reference

...

...

1. Anchor
   Perrine Perrine

Perrine
2.  Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
   
   

3. Anchor

 

4. Martin Martin

    SPE-1235-G, Martin, J.C. 1959. , Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
    Пример оформления ОФП.xls, 1959

Show If
group arax
Panel bgColor papayawhip title ARAX Perrine.xls