...
Although the actual reservoir fluid flow may not have an axial symmetry around the well-reservoir contact or around reservoir inhomogeneities (like boundary and faults and composite areas) but still in still in many practical cases the long-term correlation between the flowrate and bottom-hole pressure response can be approximated by a radial flow pressure modelthe reservoir flow tends to become radial after some time which makes a Radial Flow Pressure Diffusion @model (in its general form or in particular BVP solution) a popular diagnostic tool.
Inputs & Outputs
...
Physical Model
...
Mathematical Model
...
Expand |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| r_{wf} < r \leq r_e |
|
LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \left( \frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial r} \right) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| p(t = 0, {\bf r}) = p_i |
|
LaTeX Math Block |
---|
| p(t, r \rightarrow |
| \inftyor LaTeX Math Block |
---|
| \left[ \frac{\partial p}{\partial r} \right]_{r =r_e} = 0 |
|
LaTeX Math Block |
---|
| \left[ r\frac{\partial p(t, r )}{\partial r} \right]_{r \rightarrow r_w} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
|
LaTeX Math Block |
---|
| p_{wf}(t)= p(t,r_w) - S \cdot r_w \, \frac{\partial p}{\partial r} \Bigg|_{r=r_w} |
|
|
Expand |
---|
|
There is no universal analytical solution to the above problem – LaTeX Math Block Reference |
---|
| but it can be always presented as below:
LaTeX Math Block |
---|
| p(t,r) = p_i |
| +- \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, F \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| p_{wf}(t) = p_i |
| +- \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \bigg[ |
| - 2S + F \bigg( - \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) \bigg] |
|
where is a single-argument function describing the peculiarities of the diffusion model (well geometry, penetration geometry, formation inhomogeneities, hydraulic fractures, boundary conditions, etc.).The fact that solution of equations LaTeX Math Block Reference |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
| can be presented as LaTeX Math Block Reference |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
| finds a lot of practical applications in Well Testing.
|
Applications
...
Expand |
---|
title | Line Source Solution |
---|
|
In case of infinite homogeneous reservoir, produced by a infinitely small vertical well with no skin and no wellbore storage the function has an exact analytical formula, given by exponential integral LaTeX Math Inline |
---|
body | F(z) = - {\rm Ei} _1 (z) |
---|
| (see Line Source Solution (LSS) @model).
|
...
Expand |
---|
title | Productivity Index Analysis |
---|
|
The The instantaneous Total Sandface Productivity Index for single-phase low-compressibility fluid and low-compressibility rocks does not depend on on formation pressure, bottom-hole pressure and the flow rate and bottomhole pressure and the flowrate and can be expressed as: LaTeX Math Block |
---|
| J_t(t) = \frac{q_t}{p_i - p_{wf}(t)} =\frac{ 42 \pi \sigma }{ 2SS - 0.5 \, F \biggleft( - \frac{r_w^2}{4 \chi t} \biggright) } |
|
Expand |
---|
|
Isobar equation for a constant-rate production: LaTeX Math Block |
---|
| p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, F \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) = {\rm const} \quad \rightarrow \quad \frac{r^2}{4 \chi t}= {\rm const} |
Since the pressure disturbance at moment was at well walls then the formula for constant-pressure front propagation becomes: LaTeX Math Block |
---|
| r(t) = r_w + 2 \sqrt{\chi t} |
This leads to estimation of isobar velocity: LaTeX Math Block |
---|
| u_p(t) = \sqrt{\frac{\chi}{t}}
|
|
...
Physics / Mechanics / Continuum mechanics / Fluid Mechanics / Fluid Dynamics / Radial fluid flow / Pressure diffusion / Pressure Diffusion @model
Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing / Pressure Testing
[ Well & Reservoir Surveillance ] [ Pressure diffusion @model ]
[ Line Source Solution (LSS) @model ] [ Linear Flow Pressure Diffusion @model ]
Show If |
---|
|
Panel |
---|
|
Expand |
---|
| but this only works for the middle-times and long-times as early times are influenced by wellbore storage and non-linear effects of skin.
Expand |
---|
| Include Page |
---|
| Line Source Solution (LSS) |
---|
| Line Source Solution (LSS) |
---|
|
|
LaTeX Math Block |
---|
| p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) |
Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины , с радиальной координатой в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке (где – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением .
Пусть в момент времени скважина запускается с дебитом (в пересчете на пластовые условия).Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) |
с начальным условием: LaTeX Math Block |
---|
| p(t = 0, r) = p_i |
и граничными условиями: LaTeX Math Block |
---|
| p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | Boundary_q |
---|
alignment | left |
---|
| r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | \sigma = \frac{k \, h}{\mu} |
---|
| – гидропроводность пласта, LaTeX Math Inline |
---|
body | \chi = \frac{k}{\mu} \, \frac{1}{\phi \, c_t} |
---|
| – пьезопроводность пласта, – проницаемость пласта, – пористость пласта, – сжимаемость пласта, – сжимаемость порового коллектора, – сжимаемость насыщающего пласт флюида, – вязкость насыщающего пласт флюида.
При анализе отклика давления на самой скважине ( ) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию: LaTeX Math Block |
---|
| t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}
|
которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением LaTeX Math Inline |
---|
body | {\rm Ei}(-x) \sim \ln (x) + \gamma \sim \ln (1.781 x) |
---|
| , где – постоянная Эйлера. Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:
LaTeX Math Block |
---|
| p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) |
Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:
LaTeX Math Block |
---|
| \delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln t |
а логарифмическая производная становится постоянной во времени: LaTeX Math Block |
---|
| t \frac{d (\delta p)}{dt} \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma} |
В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.
|
|
|
...