Motivation

In many practical cases the reservoir fluid flow created by well is getting aligned with a radial direction towards or away from well.

This type of reservoir fluid flow is called radial fluid flow and corresponding pressure diffusion models provide a diagnostic basis for pressure-rate base reservoir flow analysis.

The radial flow can be infinite acting or boundary dominated or transiting from one to another.


Although the actual reservoir fluid flow may not have an axial symmetry around the well-reservoir contact or around reservoir inhomogeneities (like boundary and faults and composite areas) but still in many practical cases the reservoir flow tends to become radial after some time which makes a Radial Flow Pressure Diffusion @model (in its general form or in particular BVP solution) a popular diagnostic tool. 


Inputs & Outputs


InputsOutputs

total sandface rate

reservoir pressure

initial formation pressure

well bottomhole pressure

transmissibility,



pressure diffusivity,



skin-factor

wellbore radius

drainage radius (could be infinite)



absolute permeability

total compressibility,

effective thickness

pore compressibility

dynamic fluid viscosity

fluid compressibility

porosity




Physical Model

Radial fluid flowHomogenous reservoirInfinite boundary

Zero wellbore radius

Slightly compressible fluid flowConstant rateConstant skin


Mathematical Model




r_{wf} < r \leq r_e



\frac{\partial p}{\partial t}  = \chi \, \left( \frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial r} \right)



p(t = 0, {\bf r}) = p_i



p(t, r \rightarrow r_e ) = p_i)

or

\left[ \frac{\partial p}{\partial r} \right]_{r =r_e} = 0



\left[ r\frac{\partial p(t, r )}{\partial r} \right]_{r \rightarrow r_w} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma}



p_{wf}(t)= p(t,r_w) - S \cdot r_w \, \frac{\partial p}{\partial r} \Bigg|_{r=r_w}




There is no universal analytical solution to the above problem – but it can be always presented as below:


p(t,r) = p_i - \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  F \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg)



p_{wf}(t) = p_i - \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \bigg[2S +   F \bigg( - \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) \bigg]


where  is a single-argument function describing the peculiarities of the diffusion model (well geometry, penetration geometry, formation inhomogeneities, hydraulic fractures, boundary conditions, etc.).

The fact that solution of equations – can be presented as – finds a lot of practical applications in Well Testing.





Applications


Equations  and  show how the basic diffusion model parameters impact the pressure response while other diffusion parameters are encoded in  function and play important methodological role as they are used in many algorithms and express-methods of Pressure Testing.



In case of infinite homogeneous reservoir, produced by a infinitely small vertical well with no skin and no wellbore storage the  function has an exact analytical formula, given by exponential integral  (see Line Source Solution (LSS) @model).




PTA – Pressure Transient Analysis



Pressure Drop


\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim  \ln t + {\rm const}



Log derivative


t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim \rm const







Fig. 2. PTA Diagnostic plot for radial fluid flow





The instantaneous Total Sandface Productivity Index for low-compressibility fluid and low-compressibility rocks  does not depend on formation pressure, bottomhole pressure and the flowrate and can be expressed as:

J_t(t) = \frac{q_t}{p_i - p_{wf}(t)} =\frac{ 2 \pi \sigma }{ S - 0.5 \, F \left( - \frac{r_w^2}{4 \chi t} \right)  }




Isobar equation for a constant-rate production:

p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  F \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) = {\rm const} \quad \rightarrow \quad \frac{r^2}{4 \chi t}= {\rm const}


Since the pressure disturbance at  moment was at well walls  then the formula for constant-pressure front propagation becomes:

r(t) = r_w + 2 \sqrt{\chi t}

This leads to estimation of isobar velocity:

u_p(t) = \sqrt{\frac{\chi}{t}}



See Also

Physics / Mechanics / Continuum mechanics / Fluid Mechanics / Fluid Dynamics / Radial fluid flow / Pressure diffusion / Pressure Diffusion @model

Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing / Pressure Testing

[ Well & Reservoir Surveillance ]

[ Line Source Solution (LSS) @model ] [ Linear Flow Pressure Diffusion @model ]





but this only works for the middle-times and long-times as early times are influenced by wellbore storage and non-linear effects of skin.





p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg)



Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины , с радиальной координатой  в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке  (где  – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением .



Пусть  в момент времени  скважина запускается с дебитом  (в пересчете на пластовые условия).

Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте:

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \,  \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg)

с начальным условием:

p(t = 0, r) = p_i

и граничными условиями:

p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i


r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2  \pi \sigma}

где  – гидропроводность пласта,  – пьезопроводность пласта,  – проницаемость пласта,  – пористость пласта,  – сжимаемость пласта,  – сжимаемость порового коллектора,  – сжимаемость насыщающего пласт флюида,  – вязкость насыщающего пласт флюида.



При анализе отклика давления на самой скважине (  ) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию:

t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}

которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением , где  – постоянная Эйлера. 


Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:

p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg)


Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  \ln t

а логарифмическая производная становится постоянной во времени:

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma}


В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.