Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent single-phase diffusion with constant dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi c_t \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big) = q_t(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r})\end{array}$

where

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G\end{array}$

total sandface flowrate at reservoir location $\begin{array}{l}\mathbf{r}\end{array}$

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_w, \ B_o, \ B_g\end{array}$

formation volume factors at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi(\mathbf{r})\end{array}$

effective porosity in reservoir location $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$ at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \}\end{array}$

reservoir saturation as a function of location $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t = c_r + c_w s_w + c_o s_o + c_g s_g + s_o [ R_{sp} + (c_r + c_o) R_{sn} ] + s_g [ R_{vp} + R_{vn}(c_r + c_g) ]\end{array}$

total multiphase compressibility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle с_r\end{array}$

reservoir pore compressibility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle с_w, \ с_o, \ с_g\end{array}$

fluid compressibilities at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle M = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big)\end{array}$

total fluid mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_w = k_a \cdot M_{rw}\end{array}$

water mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_o = k_a \cdot M_{ro}\end{array}$

oil mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_g = k_a \cdot M_{rg}\end{array}$

gas mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_{rw} = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}\end{array}$

relative water mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_{ro} = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}\end{array}$

relative oil mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_{rg} = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}\end{array}$

relative gas mobility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(16)	$\begin{array}{l}\displaystyle k_a(\mathbf{r})\end{array}$

absolute permeability as a function of location $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$ at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$

(17)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mu_w, \ \mu_o, \ \mu_g\end{array}$

water, oil, gas dynamic viscosity at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(18)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sn} = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g}\end{array}$

normalized cross-phase exchange ratios at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(19)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g}\end{array}$

normalized cross-phase exchange derivatives at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(20)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro} (1 + R_{sn}) \rho_o + M_{rg} (1+R_{vn}) \rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} (1+R_{vn}) }\end{array}$

mobility-weighted fluid density at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$

(21)	$\begin{array}{l}\displaystyle g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2\end{array}$

standard gravity

(22)	$\begin{array}{l}\displaystyle \big ( \big)^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dp}\end{array}$

differentiation with respect to the pressure

All the above dynamic properties are calculated at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$ thus making (1) a linear partial differential equation.

The reference temperature $\begin{array}{l}T_{\rm ref}\end{array}$ is more or less in practical cases.

The choice of the reference pressure $\begin{array}{l}p_{\rm ref}\end{array}$ depends on the task.

For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test:

(23)	$\begin{array}{l}\displaystyle p_{\rm ref} = p_{wf}(t=0)\end{array}$

For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure:

(24)	$\begin{array}{l}\displaystyle p_{\rm ref} = p_e\end{array}$

Вышеприведенные формулы (3) –

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=18 could not be found.

представляют собой обобщение оригинальной модели ( ^[1], ^[2] ) на случай летучей нефти.

Для случае черной нефти ( $\begin{array}{l}R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0\end{array}$ ) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:

(25)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O)\end{array}$

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(26)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(27)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(28)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} }\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:

(29)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = B_w \, q_W + B_o q_O\end{array}$

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(30)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(31)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(32)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(33)	$\begin{array}{l}\displaystyle \sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\, \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg]\end{array}$

гидропроводность пласта при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:

дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
а также от чего именно и в какой степени они зависят

Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.

При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.

Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:

Reference

Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
Пример оформления ОФП.xls

Page tree

See also

Reference

Page tree

Linear Perrine multi-phase diffusion @model

See also

Reference