Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent single-phase diffusion with constant dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation:
(1) | \phi c_t \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big) = q_t(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) |
where
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
| relative oil mobility at reference pressure p_{\rm ref} and temperature T_{\rm ref} | ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
|
| ||
| standard gravity | ||
|
|
All the above dynamic properties are calculated at reference pressure p_{\rm ref} and temperature T_{\rm ref} thus making (1) a linear partial differential equation.
The reference temperature T_{\rm ref} is more or less in practical cases.
The choice of the reference pressure p_{\rm ref} depends on the task.
For accurate modelling of early time pressure response (ETR) it is recommended to use initial bottom hole pressure at the moment of the test:
(23) | p_{\rm ref} = p_{wf}(t=0) |
For accurate modelling of late time pressure response (LTR) it is recommended to use current formation pressure:
(24) | p_{\rm ref} = p_e |
Вышеприведенные формулы (3) –
представляют собой обобщение оригинальной модели ( [1], [2] ) на случай летучей нефти.Для случае черной нефти ( R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:
| суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях | ||
| эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref} | ||
| эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref} | ||
| гравитационная компонента потока при опорном давлении P_{\bf ref} |
Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:
| суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях | ||
| эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref} | ||
| эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref} | ||
| гравитационная компонента потока при опорном давлении P_{\bf ref} | ||
| гидропроводность пласта при опорном давлении P_{\bf ref} |
Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
- дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
- вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
- а также от чего именно и в какой степени они зависят
Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.
При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.
Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
- Pseudo-linear multi-phase diffusion model
- Non-linear multi-phase diffusion model
- Volatile Oil and Black Oil dynamic flow models
See also
Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation
Reference
- Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
- Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
- Пример оформления ОФП.xls