Motivation

In many practical cases the reservoir fluid flow created by well is getting aligned with a radial direction towards or away from well.

This type of reservoir fluid flow is called radial fluid flow and corresponding pressure diffusion models provide a diagnostic basis for pressure-rate base reservoir flow analysis.

The radial flow can be infinite acting or boundary dominated or transiting from one to another.


Although the actual reservoir fluid flow may not have an axial symmetry around the well-reservoir contact or around reservoir inhomogeneities (like boundary and faults and composite areas) but still  in many practical cases the long-term correlation between the flowrate and bottom-hole pressure response can be approximated by a radial flow pressure model


Inputs & Outputs


InputsOutputs

total sandface rate

reservoir pressure

initial formation pressure

well bottomhole pressure

transmissibility,



skin-factor



absolute permeability

total compressibility,

effective thickness

pore compressibility

dynamic fluid viscosity

fluid compressibility

porosity




Physical Model

Radial fluid flowHomogenous reservoirFinite reservoir flow boundary

Zero wellbore radius

Slightly compressible fluid flowConstant rateConstant skin


Mathematical Model




\frac{\partial p}{\partial t}  =  0 \Leftrightarrow \, \frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial r} =0



p(t, r_e ) = p_i



\left[ r\frac{\partial p(t, r )}{\partial r} \right]_{r \rightarrow r_w} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma}






p(r) = p_i - \frac{q_t}{2 \pi \sigma} \ln \frac{r}{r_w} 




p_{wf} = p_i - \frac{q_t}{2 \pi \sigma} \, \bigg[ S + \ln \frac{r_e}{r_w} \bigg]






Applications


Equation   shows how the basic diffusion model parameters impact the relation between drawdown and total sandface flowrate  and plays important methodological role as they are used in many algorithms and express-methods of Pressure Testing. It also called Dupuis




The Total Sandface Productivity Index for low-compressibility fluid and low-compressibility rocks  does not depend on formation pressure, bottomhole pressure and the flowrate and can be expressed as:

J_t = \frac{q_t}{p_i - p_{wf}(t)} =\frac{2 \pi \sigma}{\ln \frac{r_e}{r_w} + S} = {\rm const}


See Also

Physics / Mechanics / Continuum mechanics / Fluid Mechanics / Fluid Dynamics / Radial fluid flow

Petroleum Industry / Upstream / Subsurface E&P Disciplines / Well Testing / Pressure Testing

[ Well & Reservoir Surveillance ]

[ Pressure diffusion ] [ Pressure Diffusion @model ] [ Dupuit equation @model ]





but this only works for the middle-times and long-times as early times are influenced by wellbore storage and non-linear effects of skin.





p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg)



Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины , с радиальной координатой  в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке  (где  – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением .



Пусть  в момент времени  скважина запускается с дебитом  (в пересчете на пластовые условия).

Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте:

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \,  \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg)

с начальным условием:

p(t = 0, r) = p_i

и граничными условиями:

p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i


r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2  \pi \sigma}

где  – гидропроводность пласта,  – пьезопроводность пласта,  – проницаемость пласта,  – пористость пласта,  – сжимаемость пласта,  – сжимаемость порового коллектора,  – сжимаемость насыщающего пласт флюида,  – вязкость насыщающего пласт флюида.



При анализе отклика давления на самой скважине (  ) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию:

t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}

которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением , где  – постоянная Эйлера. 


Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:

p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg)


Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  \ln t

а логарифмическая производная становится постоянной во времени:

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma}


В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.