Motivation

In many practical cases the reservoir flow created by well or group of wells is getting aligned with a specific linear direction away from wells (see linear fluid flow).

This happens when wells are placed in a channel or a narrow compartment.

It also happens around fracture planes and conductive faults. It also develops temporarily at early times of the transients in horizontal wells.

This type of flow is called linear fluid flow and corresponding PTA type library models provides a reference for linear fluid flow diagnostics.

Inputs & Outputs

Inputs		Outputs
	total sandface rate		reservoir pressure
	initial formation pressure		well bottomhole pressure
	reservoir channel width
	transmissibility,
	pressure diffusivity,

	absolute permeability		total compressibility,
	effective thickness		pore compressibility
	dynamic fluid viscosity		fluid compressibility
	porosity

Physical Model

Linear fluid flow	Homogenous reservoir	Infinite boundary	Zero wellbore radius	Slightly compressible fluid flow	Constant rate production

Mathematical Model

\frac{\partial p}{\partial t}  = \chi \, \frac{d^2 p}{dx^2}

p(t = 0, x) = p_i

p(t, x \rightarrow \infty ) = p_i

\frac{\partial p(t, x )}{\partial x} \bigg|_{x \rightarrow 0} = \frac{q_t}{\sigma \, d}

p(t,x) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \bigg[ \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}} \exp \bigg( -\frac{x^2}{4 \chi t} \bigg) - x \, \bigg[ 1- {\rm erf} \bigg(\frac{x}{\sqrt{4 \, \chi \, t}} \bigg) \bigg]  \bigg]

p_{wf}(t) = p(t,x=0)= p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \,  \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}}

Applications

Pressure Testing – Channel or Narrow reservoir compartment

Pressure Drop

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim t^{1/2}

GLOSSARY > Linear Flow Pressure Diffusion @model > 1DL.png

Log derivative

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim t^{1/2}

Fig. 2. PTA Diagnostic plot for linear fluid flow in reservoir channel

Pressure Testing – Infinite conductivity fracture

Pressure Drop

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim t^{1/2}

GLOSSARY > Linear Flow Pressure Diffusion @model > Xf.png

Log derivative

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim t^{1/2}

Fig. 2. PTA Diagnostic plot for linear fluid flow in infinite conductivity fracture

Рассмотрим плоскопараллельный однородный пласт постоянной толщины ограниченный в горизонтальной плоскости полосой ширины с координатой вдоль полосы, которая вскрыта горизонтальной скважиной в точке по всей ширине полосы (например, компартмент между двумя параллельными непроницаемыми разломами) и начальным пластовым давлением .

Пусть в момент времени скважина запускается с дебитом (в пластовых условиях).

Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного линейного течения в бесконечном однородном пласте

\frac{\partial p}{\partial t}  = \chi \, \frac{d^2 p}{dx^2}

с начальным условием

p(t = 0, x) = p_i

и граничными условиями

p(t, x \rightarrow \infty ) = p_i

\frac{\partial p(t, x )}{\partial x} \bigg|_{x \rightarrow 0} = \frac{q_t}{\sigma \, d}

где – гидропроводность пласта, – пьезопроводность пласта, – проницаемость пласта, – пористость пласта, – сжимаемость пласта, – сжимаемость порового объема трещины, – сжимаемость флюида, насыщающего пласт, – вязкость флюида, насыщающего пласт.

Решение этого уравнения дается следующим выражением:

p(t,x) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \bigg[ \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}} \exp \bigg( -\frac{x^2}{4 \chi t} \bigg) - x \, \bigg[ 1- {\rm erf} \bigg(\frac{x}{\sqrt{4 \, \chi \, t}} \bigg) \bigg]  \bigg]

В стволе скважины () динамика давления будет описываться следующей формулой:

p_{wf}(t) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \,  \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}}

Отсюда следует что динамическая депрессия на пласт растет пропорционально квадратному корню из времени

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim t^{1/2}

равно как и ее логарифмическая производная

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim t^{1/2}

В лог-лог координатах депрессия и ее лог-производная будут иметь одинаковый слоп 1/2, что является характерным для линейно-одномерной фильтрации.

q