Motivation

One of the key problems in designing the pipelines and wells and controlling the fluid transport along is to predict the pressure along-hole pressure distribution during the stationary fluid transport.

In many cases the flow can be considered as Isothermal or Quasi-isothermal.

Pipeline flow simulator is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, gravity effects and fluid friction with pipeline walls.

Inputs & Outputs

Inputs	Outputs
Pipeline trajectory $\begin{array}{l}{\bf r} = {\bf r}(l) = \{ x(l), \, y(l), \, z(l) \}\end{array}$	along-pipe distribution of stabilised pressure $\begin{array}{l}p(l)\end{array}$
Pipeline cross-section area $\begin{array}{l}A(l)\end{array}$	along-pipe distribution of stabilised flow rate $\begin{array}{l}q(l)\end{array}$
Fluid density $\begin{array}{l}\rho(T, p)\end{array}$ and fluid viscosity $\begin{array}{l}\mu(T, p)\end{array}$	along-pipe distribution of stabilised average flow velocity $\begin{array}{l}u(l)\end{array}$
Inner pipe wall roughness $\begin{array}{l}\epsilon\end{array}$

Assumptions

Stationary fluid flow

Homogenous fluid flow

Isothermal or Quasi-isothermal conditions

Constant cross-section pipe area $\begin{array}{l}A(l)\end{array}$ along hole

Equations

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_0^2 \, q_0^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_0^2 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}\end{array}$

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle u(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p) \cdot A(l)}\end{array}$

В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола $\begin{array}{l}l(x,y,z)\end{array}$ происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока $\begin{array}{l}v(l)\end{array}$ и давления $\begin{array}{l}p(l)\end{array}$ удовлетворяют

условию баланса массы движущегося потока:

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const\end{array}$

и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}l\end{array}$	длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности
$\begin{array}{l}\rho(l)\end{array}$	профиль плотности воды
$\begin{array}{l}\theta(l)\end{array}$	профиль угла наклона скважины к горизонту
$\begin{array}{l}d(l)\end{array}$	профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток
$\begin{array}{l}A(l)\end{array}$	профиль поперечного сечения ствола скважины $\begin{array}{l}A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l)\end{array}$
$\begin{array}{l}f(l)\end{array}$	профиль коэффициента трения Дарси
$\begin{array}{l}g\end{array}$	ускорение свободного падения ( = 9.87 м²/сек )

Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.

Для несжимаемой жидкости $\begin{array}{l}\rho = \rm const\end{array}$ в отсутствии трения $\begin{array}{l}f = 0\end{array}$ уравнение (4) принимает вид:

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}\end{array}$

и может быть явно проинтегрировано:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const\end{array}$

и называется уравнением Бернулли.

Если дебит скважины на устье составляет $\begin{array}{l}q_s\end{array}$ , а плотность воды на устье $\begin{array}{l}\rho_s\end{array}$ , то уравнение (3) можно записать в следующем виде:

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s\end{array}$

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}\end{array}$

Подставляя (8) в (4) получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}\end{array}$

Далее учтем, что угол наклона к горизонту $\begin{array}{l}\theta\end{array}$ может быть выражен через абсолютные отметки глубин $\begin{array}{l}z(l)\end{array}$ вдоль траектории скважины $\begin{array}{l}l(x,y,z)\end{array}$ :

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle \sin \theta = \frac{dz}{dl}\end{array}$

и уравнение для давление примет вид:

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}\end{array}$

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра $\begin{array}{l}d = {\rm const}, \quad A = {\rm const}\end{array}$ и уравнение может быть переписано следующим образом:

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}\end{array}$

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления $\begin{array}{l}\rho = \rho(p)\end{array}$ и, следовательно:

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} = - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl} =- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}\end{array}$

где $\begin{array}{l}c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp}\end{array}$ – сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}\end{array}$

Функция $\begin{array}{l}z(l)\end{array}$ определяется траекторией скважины.

Cжимаемость $\begin{array}{l}c(p)\end{array}$ и плотность $\begin{array}{l}\rho(p)\end{array}$ воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.

Как будет показано ниже коэффициент трения $\begin{array}{l}f(p)\end{array}$ тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение (14) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию $\begin{array}{l}p(l)\end{array}$ со слабой нелинейностью.

Page tree

Motivation

Inputs & Outputs

Assumptions

Equations

See Also

Page tree

Derivation of Stationary Isothermal Homogenous Pipe Flow Pressure Profile @model

Motivation

Inputs & Outputs

Assumptions

Equations

See Also