---

Motivation

---

One of the key problems in designing the pipelines and controlling the pipeline fluid transport is to predict the temperature and pressure losses during the stationary fluid transport.

Pipeline flow simulator is addressing this problem. It should account for the varying pipeline trajectory, gravity effects, fluid friction with pipeline walls and varying heat exchange with surroundings.

Definition

---

Given 

• space coordinates are  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ x, \, y, \, z \}\end{array} //]]>$ with  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}z\end{array} //]]>$-ccordinate facing down to the Earth Centre
  
  
• inflow pipeline coordinates  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \}\end{array} //]]>$
  
  
• pipeline trajectory  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ x_w(l), \, y_w(l), \, z_w(l) \}\end{array} //]]>$, where  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}l = \int_0^l \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \int_0^l \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2} dl\end{array} //]]>$,  is pipeline length from inflow point  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \}\end{array} //]]>$
  
  
• pipeline cross-section area  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}A(l)\end{array} //]]>$
  
  
• earth gravity vector  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}{\bf g} = (0, \, 0, \, g)\end{array} //]]>$ where  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}g = 9.81 \ \rm m/s^2\end{array} //]]>$
  
  
• inflow temperature  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}T_s\end{array} //]]>$, inflow pressure  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}p_s\end{array} //]]>$, inflow rate  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_s\end{array} //]]>$
  
  
• PVT properties of water  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\rho(T, p)\end{array} //]]>$,  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\mu(T, p)\end{array} //]]>$
  
  
• surroundings initial temperature   $//<![CDATA[ \begin{array}{l}T_g(l)\end{array} //]]>$, thermal diffusivity  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}a_e(l)\end{array} //]]>$, thermal conductivity  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\lambda_e(l)\end{array} //]]>$ of surrounding media
  
  
• heat exchange coefficient  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}U(l)\end{array} //]]>$ based on pipeline schematics
  
  

Simulate

• along-pipe distribution of stabilized pressure  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}p(l)\end{array} //]]>$, flow rate $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q(l)\end{array} //]]>$ and average flow velocity  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}u(l)\end{array} //]]>$ 
  
  
• along-pipe distribution of fluid flow temperature  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}T(t, l)\end{array} //]]>$ after a flow period of time  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}t\end{array} //]]>$ when the flow stabilization achieved
  
  

При больших дебитах скважины формула 

 предсказывает малое значение $//<![CDATA[ \begin{array}{l}R(t)\end{array} //]]>$ и следовательно в экспоненте формулы  можно удержать только линейный член разложения по $//<![CDATA[ \begin{array}{l}R(t)\end{array} //]]>$:

откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_s\end{array} //]]>$, что соответствует практическим наблюдениям.

При малых дебитах скважины формула 

 предсказывает большое значение $//<![CDATA[ \begin{array}{l}R(t)\end{array} //]]>$ и следовательно экспонентой  в формуле  можно пренебречь:

то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.

Также формула 

 предсказывает логарифмический рост $//<![CDATA[ \begin{array}{l}T_D(t)\end{array} //]]>$ со временем:

и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}T_D(t) \gg \frac{\lambda}{r_f \, U}\end{array} //]]>$, то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям.

Таким образом, значение радиуса НКТ и коэффициента теплопередачи оказывает основное влияние на скорость прогрева потока воды на начальном участке времени после включения скважины.

На больших же временах скважины с разными конструкциями и разными коэффициентами теплопередачи имеют схожую динамику и распределение температуры по стволу, которая определяется только дебитом скважины, геотермой и температуропроводностью пород.
 

Таким образов формула 

 работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.

References

---

https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae

https://neutrium.net/fluid_flow/pressure-loss-in-pipe/ 

H. J. Ramey, Wellbore Heat Transmission - SPE-96-PA - 1992

R. Shankar, Pipe Flow Calculations, Clarkson University

Studopedia

solverbook.com – Коэффициент теплоотдачи