Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent single-phase diffusion with constant dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi c_t \partial_t p - \nabla \big( \alpha ( \nabla p - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big) = q(\mathbf{r})\end{array}$

where

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G\end{array}$

total sandface flowrate

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_w = B_w(p_{\rm ref}), \ B_o = B_o(p_{\rm ref}), \ B_g = B_g(p_{\rm ref})\end{array}$

formation volume factors at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sn}(p) = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn}(p) = \frac{R_v B_o}{B_g}\end{array}$

normalized cross-phase exchange ratios at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sp}(p) = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp}(p) = \frac{\dot R_v B_o}{B_g}\end{array}$

normalized cross-phase exchange derivatives at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \}\end{array}$

reservoir saturation as a function of location $\begin{array}{l}\mathbf{r}\end{array}$

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g\end{array}$

total compressibility as function of reservoir saturation at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle с_r(p_{\rm ref})\end{array}$

reservoir pore compressibility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle с_w(p_{\rm ref}), \ с_o(p_{\rm ref}), \ с_g(p_{\rm ref}\end{array}$

fluid compressibilities at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle M(s, P) = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big)\end{array}$

total fluid mobility as function of reservoir saturation at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle M_w(s,p) = k_a M_{rw}(s,p), \quad M_o(s,p) = k_a M_{ro}(s,p), \quad M_g(s,p) = k_a M_{rg}(s,p)\end{array}$

phase mobilities as functions of reservoir saturation at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle k_a(\mathbf{r}) \bigg\| _{p_{\bf ref}}\end{array}$

распределение воздушной проницаемости пласта в объеме пород

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}\end{array}$

относительные фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mu_w = \mu_w(P_{\bf ref}), \quad \mu_o = \mu_o(P_{\bf ref}), \quad \mu_g = \mu_g(P_{\bf ref})\end{array}$

вязкость воды, нефти и газа при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(16)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_w = \rho_w(P_{\rm ref}), \ \rho_o = \rho_o(P_{\rm ref}), \ \rho_g = \rho_g(P_{\rm ref})\end{array}$

water, oil, gas densities at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(17)	$\begin{array}{l}\displaystyle g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2\end{array}$

standard gravity

(18)	$\begin{array}{l}\displaystyle \chi = \left \langle \frac{k} {\mu} \right \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg\| _{p_{\bf ref}}\end{array}$

hydraulic diffusivity at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(19)	$\begin{array}{l}\displaystyle \sigma = \alpha \ h = \left \langle \frac{k} {\mu} \right \rangle \ h \bigg\| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

transmissibility at reference pressure $\begin{array}{l}p_{\bf ref}\end{array}$

(20)	$\begin{array}{l}\displaystyle h\end{array}$

толщина пласта

Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.

При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.

Вышеприведенные формулы (2) – (20) представляют собой обобщение оригинальной модели ( ^[1], ^[2] ) на случай летучей нефти.

Для случае черной нефти ( $\begin{array}{l}R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0\end{array}$ ) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:

(21)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O)\end{array}$

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(22)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(23)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(24)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} }\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:

(25)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = B_w \, q_W + B_o q_O\end{array}$

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(26)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(27)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(28)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(29)	$\begin{array}{l}\displaystyle \sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\, \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg]\end{array}$

гидропроводность пласта при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:

дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
а также от чего именно и в какой степени они зависят

Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.

При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.

Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:

Reference

Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
Пример оформления ОФП.xls

Page tree

See also

Reference

Page tree

Linear Perrine multi-phase diffusion @model

See also

Reference