В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяютусловию баланса массы движущегося потока: | LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MatBal2 |
|---|
| alignment | left |
|---|
| A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где | длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности | | | профиль плотности воды | | Inclinational Deviation | | профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток | | профиль поперечного сечения ствола скважины | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) |
|---|
|
| | профиль коэффициента трения Дарси | | ускорение свободного падения ( = 9.87 м2/сек ) | |
|
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Для несжимаемой жидкости в отсутствии трения уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано: | LaTeX Math Block |
|---|
| p(l) - \rho \, g \, l \, \cos \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const |
и называется уравнением Бернулли.
Если дебит скважины на устье составляет , а плотность воды на устье , то уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно записать в следующем виде:| LaTeX Math Block |
|---|
| A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу: | LaTeX Math Block |
|---|
| v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
в | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :| LaTeX Math Block |
|---|
| \cos \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} |
|---|
|
и уравнение может быть переписано следующим образом:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_implicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления и, следовательно:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
|---|
|
– сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_explicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \biggleft( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{\rho \, A^2} \biggright ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
Функция определяется траекторией скважины.
Cжимаемость и плотность воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью. |
