The base driving equations of a pipe flow are:

\frac{d p}{d l} =
-\rho \, u \, \frac{d u}{d l}  + \rho \, g \, \cos \theta + f_{\rm cnt, \, l}

j_m(l) = j_m = \rho(l) \cdot u = \rm const

Equation of State (EOS)

Darcy–Weisbach

\rho = \rho(p, T)

f_{\rm cnt, l} =  -  f \cdot \frac{  \rho \, u^2 \, }{2 d}

where

	distance along the fluid flow streamline
	inclinational deviation,
	elevation along the 1D flow trajectory
	fluid temperature
	fluid pressure
	fluid density
	fluid velocity vector
	superficial velocity of the pipe flow
	volumetric density of all contact forces exerted on fluid body
	projection of onto the unit fluid velocity vector:
	fluid mass flux
	mass flowrate
	standard gravity constant

Substituting and into :

\frac{d p}{d l} =
-j_m \cdot \frac{d}{d l} \left( \frac{j_m}{\rho} \right)   + \rho \, g \, \cos \theta -  f \cdot \frac{  \rho  \, }{2 d} \cdot \left( \frac{j_m}{\rho} \right)^2

\frac{d p}{d l} =
j^2_m \cdot \frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{dl}   + \rho \, g \, \cos \theta -  \frac{j_m^2}{2 d} \cdot \frac{f}{\rho}

\frac{d p}{d l} =
j^2_m \cdot \frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{dp} \cdot \frac{d p}{dl}   + \rho \, g \, \cos \theta -  \frac{j_m^2}{2 d} \cdot \frac{f}{\rho}

\frac{d p}{d l} =
j^2_m \cdot \frac{1}{\rho} \cdot c \cdot \frac{d p}{dl}   + \rho \, g \, \cos \theta -  \frac{j_m^2}{2 d} \cdot \frac{f}{\rho}

and finally

\left( 1 - j_m^2 \cdot \frac{c}{\rho}   \right )  \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta  - \frac{j_m^2 }{2  d} \cdot \frac{f}{\rho}

Alternative forms

\left[ \rho -j_m^2 \, c \right] \cdot \frac{d p}{dl} =
\rho^2 \, g \, \cos \theta -  \frac{j_m^2 }{2d} \cdot f(\rho)

\left[ \frac{1}{c} - \frac{j_m^2}{\rho} \right] \cdot \frac{d \rho}{dl} =
\rho^2 \, g \, \cos \theta -  \frac{j_m^2 }{2d} \cdot f(\rho)

В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяют

условию баланса массы движущегося потока:

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}

где

	длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности
	профиль плотности воды
	Inclinational Deviation
	профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток
	профиль поперечного сечения ствола скважины
	профиль коэффициента трения Дарси
	ускорение свободного падения ( = 9.87 м²/сек )

Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.

Для несжимаемой жидкости в отсутствии трения уравнение принимает вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}

и может быть явно проинтегрировано:

p(l) - \rho \, g \, l \, \cos \theta +  \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const

и называется уравнением Бернулли.

Если дебит скважины на устье составляет , а плотность воды на устье , то уравнение можно записать в следующем виде:

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

Подставляя в получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :

\cos \theta = \frac{dz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра и уравнение может быть переписано следующим образом:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления и, следовательно:

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где – сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:

\left( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{\rho \, A^2}   \right )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

Функция определяется траекторией скважины.

Cжимаемость и плотность воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.

Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью.

Alternative forms

See Also