В большом количестве практических случаев математическая модель диффузии давления в пласте является линейной по давлению и следовательно удовлетворяет принципу суперпозиции во времени.
Деконволюция Давления
Если известен образцовый отклик пласта p_u(\tau) на включение скважины с единичным дебитом q=1, также называемый переходной характеристикой давления (ПХД), то отклик на произвольную историю дебитов будет удовлетворять принципу суперпозиции
| (1) | p_{wf}(t) = p_i + \sum_\alpha p_u(t- t_\alpha) \delta q_\alpha |
где p_i – начальное пластовое давление, t_\alpha – время начала \alpha-ого транзиента, q_\alpha – дебит скважины на \alpha-ом транзиенте, q_{-1} =0.
Задача деконволюции давления заключается в том, чтобы найти переходную характеристику p_u(\tau) по известной истории дебитов \{ q(t_\alpha) \} и непрерывной записи забойного давления p_{wf}(t).
Такая деконволюция относится к p(q)-типу .
Такой подход используется в случае, если показания давлений известны точно, а значения дебита скважины могут варьироваться в небольших пределах (что возможно связано с неточностями измерительного тракта или наличием непродуктивных отборов/закачки) и в этом случае деконволюция помогает скорректировать историю дебитов отталкиваясь от предположения, что вся история давлений должна быть зафитингована единой ПХД .
В случае непрерывного изменения дебита уравнение конволюции может быть переписано в виде:
| (2) | p_{wf}(t) = p_i + \int_0^t p_u(t - \tau) \dot q (\tau) d\tau |
где \dot q = \frac{d q}{ d \tau} производная записи дебита по времени.
Деконволюция Расхода
Если известен образцовый отклик пласта q_u(\tau) на включение скважины с единичным забойным давлением p_{wf} =1, также называемый переходной характеристикой расхода (ПХР), то отклик на произвольную историю забойных давлений будет удовлетворять принципу суперпозиции
| (3) | q(t) = \sum_\alpha q_u(t-t_\alpha) \delta p_\alpha |
где t_\alpha – время начала \alpha-ого транзиента, p_\alpha – давление скважины на \alpha-ом транзиенте, p_{-1} = p_i – начальное пластовое давление.
Задача деконволюции давления заключается в том, чтобы найти переходную характеристику q_u(\tau) по известной истории давлений \{ p_\alpha \} и непрерывной записи дебита q(t).
В случае непрерывного изменения давления уравнение конволюции может быть переписано в виде:
| (4) | q(t) = \int_0^t q_u(t - \tau) \dot p (\tau) d\tau |
где \dot p = \frac{d p}{ d \tau} производная записи давления по времени.
Деконволюция Давления и Расхода
Задача деконволюции сводится к нахождению ПХД p_u(\tau) и ПХР q_u(\tau) по известным непрерывным записям дебита q(t) и забойных давлений p_{wf}(t) из системы интегральных уравнений:
| (5) | p_{wf}(t) = p_i + \int_0^t p_u(t - \tau) \dot q (\tau) d\tau |
| (6) | q(t) = \int_0^t q_u(t - \tau) \dot p (\tau) d\tau |
Такая деконволюция относится к p&q -типу, а полученные переходные характеристики ПХД p_u(\tau) и ПХР q_u(\tau) называются комплиментарными .