Inputs & Outputs
Inputs | Outputs |
---|---|
Pipeline trajectory {\bf r} = {\bf r}(l) = \{ x(l), \, y(l), \, z(l) \} | along-pipe distribution of stabilised pressure p(l) |
along-pipe distribution of stabilised flow rate q(l) | |
Fluid density \rho(T, p) and fluid viscosity \mu(T, p) | along-pipe distribution of stabilised average flow velocity u(l) |
Inner pipe wall roughness \epsilon |
Assumptions
Stationary fluid flow |
Homogenous fluid flow |
Isothermal or Quasi-isothermal conditions |
Constant cross-section pipe area A(l) along hole |
Equations
|
|
|
В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола l(x,y,z) происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока v(l) и давления p(l) удовлетворяют
условию баланса массы движущегося потока:
(4) | A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:
(5) | \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где
l | длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности | |
\rho(l) | профиль плотности воды | |
\theta(l) | профиль угла наклона скважины к горизонту | |
d(l) | профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток | |
A(l) | профиль поперечного сечения ствола скважины A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) | |
f(l) | профиль коэффициента трения Дарси | |
g | ускорение свободного падения ( = 9.87 м2/сек ) | |
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Для несжимаемой жидкости \rho = \rm const в отсутствии трения f = 0 уравнение (5) принимает вид:
(6) | \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано:
(7) | p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const |
и называется уравнением Бернулли.
Если дебит скважины на устье составляет q_s, а плотность воды на устье \rho_s, то уравнение (4) можно записать в следующем виде:
(8) | A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:
(9) | v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя (9) в (5) получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:
(10) | \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту \theta может быть выражен через абсолютные отметки глубин z(l) вдоль траектории скважины l(x,y,z):
(11) | \sin \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид:
(12) | \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} и уравнение может быть переписано следующим образом:
(13) | \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления \rho = \rho(p) и, следовательно:
(14) | \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} = - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl} =- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} – сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:
(15) | \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
Функция
z(l) определяется траекторией скважины.
Cжимаемость
c(p) и плотность
\rho(p) воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.
Как будет показано ниже коэффициент трения f(p) тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение (15) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию p(l) со слабой нелинейностью.
See Also
Petroleum Industry / Upstream / Pipe Flow Simulation / Water Pipe Flow @model / Stationary Isothermal Homogenous Pipe Flow Pressure Profile @model
[ Darcy friction factor ] [ Darcy friction factor @model ]