Inputs | Outputs |
---|
Pipeline trajectory LaTeX Math Inline |
---|
body | {\bf r} = {\bf r}(l) = \{ x(l), \, y(l), \, z(l) \} |
---|
|
| along-pipe distribution of stabilized pressure |
| along-pipe distribution of stabilized flow rate |
Along-pipe temperature profile |
|
| along-pipe distribution of stabilized average flow velocity |
Inner pipe wall roughness |
|
Assumptions
Equations
LaTeX Math Block |
---|
| \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_0^2 \, q_0^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_0^2 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho} |
|
LaTeX Math Block |
---|
| u(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p) \cdot A} |
|
LaTeX Math Block |
---|
| q(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho} |
|
В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола
происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока
и давления
удовлетворяют
условию баланса массы движущегося потока:
LaTeX Math Block |
---|
anchor | MatBal2 |
---|
alignment | left |
---|
|
A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:
LaTeX Math Block |
---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где
| длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности | |
| профиль плотности воды |
| Inclinational Deviation |
| профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток |
| профиль поперечного сечения ствола скважины LaTeX Math Inline |
---|
body | A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) |
---|
|
|
| профиль коэффициента трения Дарси |
| ускорение свободного падения ( = 9.87 м2/сек ) |
|
|
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Для несжимаемой жидкости
в отсутствии трения
уравнение
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
принимает вид:
LaTeX Math Block |
---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано:
LaTeX Math Block |
---|
|
p(l) - \rho \, g \, l \, \cos \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const |
и называется уравнением Бернулли.
Если дебит скважины на устье составляет
, а плотность воды на устье
, то уравнение
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
можно записать в следующем виде:
LaTeX Math Block |
---|
|
A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:
LaTeX Math Block |
---|
|
v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
в
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:
LaTeX Math Block |
---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту
может быть выражен через абсолютные отметки глубин
вдоль траектории скважины
:
LaTeX Math Block |
---|
|
\cos \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид:
LaTeX Math Block |
---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра
LaTeX Math Inline |
---|
body | d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} |
---|
|
и уравнение может быть переписано следующим образом:
LaTeX Math Block |
---|
anchor | dp_implicit |
---|
alignment | left |
---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления
и, следовательно:
LaTeX Math Block |
---|
|
\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где
LaTeX Math Inline |
---|
body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
---|
|
– сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:
LaTeX Math Block |
---|
anchor | dp_explicit |
---|
alignment | left |
---|
|
\bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
Функция
определяется траекторией скважины.
Cжимаемость
и плотность
воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.
Как будет показано ниже коэффициент трения
тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию
со слабой нелинейностью.