but this only works for the middle-times and long-times as early times are influenced by wellbore storage and non-linear effects of skin.

p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg)

Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины 

Пусть  в момент времени 

Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте:

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \,  \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg)

с начальным условием:

p(t = 0, r) = p_i

и граничными условиями:

p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i

r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2  \pi \sigma}

где 

При анализе отклика давления на самой скважине ( 

t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}

которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением 

Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:

p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg)

Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \,  \ln t

а логарифмическая производная становится постоянной во времени:

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma}

В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.