...

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}

\frac{dp}{dl} = \rho \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg(, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dpdv}{dl} \bigg)_f

p(l) - \rho \, g \, 

l \, \sin \theta +  \frac{1}{2} \rho \,

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v = - \rho \, v \, \frac{dv}{dl},

 v^2 = \rm const

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

\

frac{dp}{dl}

 = 

\rho \

, 

g \, \sin \

theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту

фрикционная компонента вариации давления, формируемая трением флюида со стенкой скважины

она всегда имеет отрциательный знак и приводит к потере давления вдоль направления движения потока

Для несжимаемой жидкости

\sin \theta = \frac{dpdz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rhofrac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, v \,q_s^2}{A}  \frac{dvd}{dl}

и может быть явно проинтегрировано:

p(l) - \rho \bigg( \frac{1}{A \, g \, l\rho} \,bigg) \sin- \theta +  \frac{1}{2} \rho_s^2 \, v^2 = \rm const

и называется уравнением Бернулли.

Уравнение неразрывности одномерного потока с линейной плотностью

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

для стационарного режима течения принимает вид:

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

откуда и следует формула

Для вывода уравнения

Рассмотрим стационарное (то есть установившееся во времени) течение потока по трубе.

Движение поперек трубы отсуствует и, следовательно, сумма проекций всех сил на трансверсальное направление

dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0

и выполняется автоматически, при наличии достаточного запаса прочности трубы

Уравнение движения флюида вдоль оси трубы

 dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l

где

Изменение импульса c учетом стационарности скорости потока

Сила, формируемая гидравлическим напором

Проекция гравитационной силы

Сила трения со стенками трубы дается феноменологическим уравнением Дарси-Вейсбаха:

Аксиальная компонента реакции опоры труб по определению отсутствует

Подставляя вышеприведенные выражения в уравнение

- A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv

Разделив уравнение на бесконечно малый объем элемента

q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2

Если дебит скважины на устье составляет

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

Подставляя 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту

\sin \theta = \frac{dz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

Как будет показано ниже коэффициент трения

Если предположить постоянство коэффициента трения

p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l

Pressure gradient will be:

\frac{dp}{dl} = \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s frac{f(p)}{\rho(p)}

Функция

The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:

\frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} =  \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

Как будет показано ниже коэффициент трения

In water producing or water injecting wells the friction factor  can be assumed constant

...