Specific case of general multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent single-phase diffusion with constant dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation:
\phi c_t \partial_t p - \nabla \big( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \big) = q_t(\mathbf{r}) \delta(\mathbf{r}) |
where
q_t(\mathbf{r}) = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G |
| |
B_w = B_w(p_{\rm ref}, T_{\rm ref}), \ B_o = B_o(p_{\rm ref}, T_{\rm ref}), \ B_g = B_g(p_{\rm ref}, T_{\rm ref}) |
| |
\phi(\mathbf{r}, \ p_{\rm ref}) |
| |
s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \} |
|
reservoir saturation as a function of location 
|
c_t(s,p, T) = c_r + c_w s_w + c_o s_o + c_g s_g + s_o [ R_{sp} + (c_r + c_o) R_{sn} ] + s_g [ R_{vp} + R_{vn}(c_r + c_g) ] |
| |
| |
с_w(p, T), \ с_o(p, T), \ с_g(p, T) |
| |
M(s, p, T) = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big) |
| |
M_w(s,p, T) = k_a \cdot M_{rw}(s,p, T) |
| |
M_o(s,p, T) = k_a \cdot M_{ro}(s,p, T) |
| |
M_g(s,p, T) = k_a \cdot M_{rg}(s,p, T) |
| |
M_{rw}(s, p, T) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w(p, T)} |
| |
M_{ro}(s,p, T) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o(p, T)} |
| |
M_{rg}(s,p, T) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g(p, T)} |
| |
k_a(\mathbf{r}, \ p_{\rm ref}) |
|
absolute permeability as a function of location at reference pressure 
|
\mu_w(p, T), \ \mu_o(p, T), \ \mu_g(p, T) |
| |
R_{sn}(p, T) = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn}(p, T) = \frac{R_v B_o}{B_g} |
| |
R_{sp}(p, T) = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp}(p, T) = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} |
| |
\rho(p, T) = \frac{ M_{rw} \rho_w + M_{ro} (1 + R_{sn}) \rho_o + M_{rg} (1+R_{vn}) \rho_g }{ M_{rw} + M_{ro} (1 + R_{sn}) + M_{rg} (1+R_{vn}) }
|
| |
g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2 |
|
standard gravity |
\big ( \big)^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dp} |
|
differentiation with respect to the pressure
|
This
qweqwe
q_t = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G
|
| |
B_w = B_w(p_{\rm ref}), \ B_o = B_o(p_{\rm ref}), \ B_g = B_g(p_{\rm ref}) |
| |
R_{sn}(p) = \frac{R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vn}(p) = \frac{R_v B_o}{B_g} |
| |
R_{sp}(p) = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \ , \quad R_{vp}(p) = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} |
| |
s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \} |
|
reservoir saturation as a function of location  |
c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g |
| |
| |
с_w(p_{\rm ref}), \ с_o(p_{\rm ref}), \ с_g(p_{\rm ref} |
| |
M(s, P) = M_w + M_o \big( 1 + R_{sn} \big) + M_g \big( 1 + R_{vn} \big) |
| |
M_w(s,p) = k_a M_{rw}(s,p), \quad M_o(s,p) = k_a M_{ro}(s,p), \quad M_g(s,p) = k_a M_{rg}(s,p) |
| |
k_a(\mathbf{r}) \bigg| _{p_{\bf ref}} |
| распределение воздушной проницаемости пласта в объеме пород |
\alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g} |
| относительные фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении  |
\mu_w = \mu_w(P_{\bf ref}), \quad \mu_o = \mu_o(P_{\bf ref}), \quad \mu_g = \mu_g(P_{\bf ref}) |
| вязкость воды, нефти и газа при опорном давлении |
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }
|
| гравитационная компонента потока при опорном давлении |
\rho_w = \rho_w(P_{\rm ref}), \ \rho_o = \rho_o(P_{\rm ref}), \ \rho_g = \rho_g(P_{\rm ref})
|
| water, oil, gas densities at reference pressure  |
g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2 |
| standard gravity
|
\chi = \left \langle \frac{k} {\mu} \right \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg| _{p_{\bf ref}} |
|
hydraulic diffusivity at reference pressure |
\sigma = \alpha \ h = \left \langle \frac{k} {\mu} \right \rangle \ h \bigg| _{P_{\bf ref}} |
|
transmissibility at reference pressure |
|
толщина пласта |
Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.
При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.
Вышеприведенные формулы 
– 
представляют собой обобщение оригинальной модели ( [1], [2] ) на случай летучей нефти.
Для случае черной нефти (
) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:
q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O) |
| суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях |
c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o |
| эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении |
\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) |
| эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении |
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} }
|
| гравитационная компонента потока при опорном давлении |
Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше:
q_t = B_w \, q_W + B_o q_O |
| суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях |
c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o |
| эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении |
\alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) |
| эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении |
\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}
|
| гравитационная компонента потока при опорном давлении |
\sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\, \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg] |
|
гидропроводность пласта при опорном давлении |
Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
- дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
- вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта,
- а также от чего именно и в какой степени они зависят
Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом.
При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина.
Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
See also
Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation
Reference
- Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
- Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
- Пример оформления ОФП.xls