Content

Motivation

One of the key problems in designing the pipelines and controlling the pipeline fluid transport is to predict the temperature and pressure losses during the stationary fluid transport.

Pipeline flow simulator is addressing this problem. It should account for the varying pipeline trajectory, gravity effects, fluid friction with pipeline walls and varying heat exchange with surroundings.

Definition

Given

space coordinates are $\begin{array}{l}\{ x, \, y, \, z \}\end{array}$ with $\begin{array}{l}z\end{array}$ -ccordinate facing down to the Earth Centre
inflow pipeline coordinates $\begin{array}{l}\{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \}\end{array}$
pipeline trajectory $\begin{array}{l}\{ x_w(l), \, y_w(l), \, z_w(l) \}\end{array}$ , where $\begin{array}{l}l = \int_0^l \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \int_0^l \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2} dl\end{array}$ , is pipeline length from inflow point $\begin{array}{l}\{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \}\end{array}$
pipeline cross-section area $\begin{array}{l}A(l)\end{array}$
earth gravity vector $\begin{array}{l}{\bf g} = (0, \, 0, \, g)\end{array}$ where $\begin{array}{l}g = 9.81 \ \rm m/s^2\end{array}$
inflow temperature $\begin{array}{l}T_s\end{array}$ , inflow pressure $\begin{array}{l}p_s\end{array}$ , inflow rate $\begin{array}{l}q_s\end{array}$
PVT properties of water $\begin{array}{l}\rho(T, p)\end{array}$ , $\begin{array}{l}\mu(T, p)\end{array}$
surroundings initial temperature $\begin{array}{l}T_g(l)\end{array}$ , thermal diffusivity $\begin{array}{l}a_e(l)\end{array}$ , thermal conductivity $\begin{array}{l}\lambda_e(l)\end{array}$ of surrounding media
heat exchange coefficient $\begin{array}{l}U(l)\end{array}$ based on pipeline schematics

Simulate

along-pipe distribution of stabilized pressure $\begin{array}{l}p(l)\end{array}$ , flow rate $\begin{array}{l}q(l)\end{array}$ and average flow velocity $\begin{array}{l}u(l)\end{array}$
along-pipe distribution of fluid flow temperature $\begin{array}{l}T(t, l)\end{array}$ after a flow period of time $\begin{array}{l}t\end{array}$ when the flow stabilization achieved

Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=f_4000 could not be found.

видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в

$\begin{array}{l}10^{0.25} = 1.8\end{array}$ раз.

Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.

Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: $\begin{array}{l}f = f(\rm Re(p))\end{array}$ .

При этом число Рейнольдса $\begin{array}{l}{\rm Re} = \frac{d \, \rho \, v}{\mu}\end{array}$ с учетом

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Arhov could not be found.

можно записать как:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle {\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}\end{array}$

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью $\begin{array}{l}f = f(\mu(p))\end{array}$ , которая для воды имеет слабую зависисмость от давления в широких практических пределах:

δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10^-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10^-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).

Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).

Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой $\begin{array}{l}{\rm Re} = 230 \cdot \, q\end{array}$ , где $\begin{array}{l}q\end{array}$ дебит скважины на устье в м³/сут.

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м³/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.

А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным $\begin{array}{l}f = f_s = \rm const\end{array}$ .