Коэффициент трения Дарси $\begin{array}{l}f\end{array}$ сложным образом зависит от режима течения, а также формы и шероховатости внутренних стенок трубы.

Для гладкой трубы $\begin{array}{l}\epsilon = 0\end{array}$ с круглым сечением коэффициент трения имеет следующие эмпирические аппроксимации:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 64 \, \rm Re^{-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}\rm Re < 2,100\end{array}$

ламинарный режим течения

нет стабильных корреляций

$\begin{array}{l}2,100 < \rm Re < 4,000\end{array}$

переходной режим течение

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 0.32 \, \rm Re^{-0.25}\end{array}$

$\begin{array}{l}4,000 < \rm Re < 50,000\end{array}$

турбулентный режим течения

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 0.184 \, \rm Re^{-0.2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\rm Re > 50,000\end{array}$

сильно турбулентный поток режим течения

где

$\begin{array}{l}{\rm Re}(l) = \frac{d \, v \, \rho}{\mu}\end{array}$	число Рейнольдса
$\begin{array}{l}d(l)\end{array}$	профиль диаметра трубы, вдоль которой движется поток
$\begin{array}{l}\mu(l) = \mu( \, p(l), \, T(l) \,)\end{array}$	профиль вязкости флюида, определяемая зависимостью вязкости от давления и температуры $\begin{array}{l}\mu(p, T)\end{array}$ в состоянии термодинамического равновесия

Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы
$\begin{array}{l}\epsilon\end{array}$ (в мм)

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d} + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg)\end{array}$

Типичное значение шероховатости труб $\begin{array}{l}\epsilon = 0.05\, \rm мм\end{array}$ , однако по мере эрозийного воздействия потока и отложения минеральных осадков шероховатость может подняться в разы.

Таблица типичных шероховатостей поверхностей

Материал	Состояние	ft	mm
Сталь	листовая	1.6 ×10⁻⁴	5×10⁻²
	нержавейка	7×10⁻⁶	2×10⁻³
	клепанная	1×10⁻²	3.0
	ржавая	7×10⁻³	2.0
Железо	чугун	8.5×10⁻⁴	2.6 ×10⁻¹
	ковка	1.5×10⁻⁴	4.6 ×10⁻²
	гальванизированное	5×10⁻⁴	1.5×10⁻¹
Латунь		7×10⁻⁶	2×10⁻³
Пластик		5×10⁻⁶	1.5×10−3
Стекло		0	0
Бетон	гладкий (залитый)	1.3×10⁻⁴	4×10⁻²
	шероховатый	7×10⁻³	2.0
Резина	гладкая	3.3×10⁻⁵	1×10⁻²
Дерево	доска	1.6 ×10⁻³	5×10⁻¹

Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения (4), в частности следующая (Monzon, Romeo, Royo, 2002):

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg) \bigg]^{-2}\end{array}$

где $\begin{array}{l}\Lambda\end{array}$ – безразмерный параметр, рассчитываемый по формуле:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[ \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg]\end{array}$

Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} } \Bigg]^{1/12}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\Theta_1 = \Bigg[ 2.457 \, \ln \Bigg( \bigg( \frac{7}{\rm Re} \bigg)^{0.9} + 0.27 \, \frac{\epsilon}{d} \Bigg) \Bigg]^{16}\end{array}$ и $\begin{array}{l}\Theta_2 = \Big( \frac{37530}{\rm Re} \Big)^{16}\end{array}$ .

Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы (2) видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в $\begin{array}{l}10^{0.25} = 1.8\end{array}$ раз.

Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.

Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: $\begin{array}{l}f = f(\rm Re(p))\end{array}$ .

При этом число Рейнольдса $\begin{array}{l}{\rm Re} = \frac{d \, \rho \, v}{\mu}\end{array}$ с учетом

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Arhov could not be found.

можно записать как:

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle {\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}\end{array}$

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью $\begin{array}{l}f = f(\mu(p))\end{array}$ , которая для воды имеет слабую зависисмость от давления в широких практических пределах:

δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10^-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10^-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).

Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).

Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой $\begin{array}{l}{\rm Re} = 230 \cdot \, q\end{array}$ , где $\begin{array}{l}q\end{array}$ дебит скважины на устье в м³/сут.

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м³/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.

А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным $\begin{array}{l}f = f_s = \rm const\end{array}$ .

Page tree

See also

Page tree

Darcy friction factor @model

See also