Page tree

You are viewing an old version of this page. View the current version.

Compare with Current View Page History

« Previous Version 32 Next »


Specific case of multi-phase pressure diffusion assuming the equivalent single-phase diffusion with constant dynamic parameters, thus resulting in linear partial differential equation: 

(1) \phi c_t \partial_t P - \nabla \big( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big) = q(\mathbf{r})

where

(2) q_t = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G
(3) B_w = B_w(p_{\rm ref}), \ B_o = B_o(p_{\rm ref}), \ B_g = B_g(p_{\rm ref})


formation volume factors between separator and sandface reference pressure p_{\bf ref}

(4) R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g} \bigg| _{P_{\bf ref}} \ , \quad R_{sn} = \frac{R_s B_g}{B_o} \bigg| _{P_{\bf ref}} \ , \quad R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} \bigg| _{P_{\bf ref}} \ , \quad R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \bigg| _{P_{\bf ref}}


normalised

нормированные обменные коэффициенты межфазного обмена при опорном давлении P_{\bf ref}

(5) s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \}
распределение насыщенности водяной, нефтяной и газовой фаз в объеме пород
(6) c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(7) с_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d \phi}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad с_w = \frac{1}{\rho_w} \frac{d \rho_w}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad с_o = \frac{1}{\rho_o} \frac{d \rho_o}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad с_g = \frac{1}{\rho_g} \frac{d \rho_g}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}


сжимаемости породы, воды, нефти и газа при опорном давлении P_{\bf ref}



(8) \beta = \phi \, c_t \bigg| _{P_{\bf ref}}


упругоемкость мультифазного пласта

(9) \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) \big( 1 + R_{vn} \big)

эффективная проводимость пород  как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(10) \alpha_w = k_a \alpha_{rw}(s), \quad \alpha_o = k_a \alpha_{ro}(s), \quad \alpha_g = k_a \alpha_{rg}(s)

фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(11) k_a(\mathbf{r}) \bigg| _{P_{\bf ref}}
распределение воздушной проницаемости пласта в объеме пород
(12) \alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}

относительные фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(13) \mu_w = \mu_w(P_{\bf ref}), \quad \mu_o = \mu_o(P_{\bf ref}), \quad \mu_g = \mu_g(P_{\bf ref})

вязкость воды, нефти и газа при опорном давлении P_{\bf ref}

(14) \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }

гравитационная компонента потока при опорном давлении P_{\bf ref}

(15) \rho_w = \rho_w(P_{\rm ref}), \ \rho_o = \rho_o(P_{\rm ref}), \ \rho_g = \rho_g(P_{\rm ref})

плотность воды, нефти а газа при опорном давлении P_{\bf ref}

(16) g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2
ускорение свободного падения (константа)
(17) \chi = \frac{\alpha}{\beta} = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg| _{P_{\bf ref}}


пьезопроводность пласта при опорном давлении P_{\bf ref}

(18) \sigma = \alpha \ h = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \ h \bigg| _{P_{\bf ref}}


гидропроводность пласта при опорном давлении P_{\bf ref}

(19) h


толщина пласта

Все вышеприведенные параметры рассчитываются при одном давлении (которое предполагается не сильно меняющимся во время исследования), как правило при пластовом давлении.

При небольших депрессиях (репрессиях) это условие можно считать разумным.

Вышеприведенные формулы  (2) –  (19) представляют собой обобщение оригинальной модели ( [1][2] )  на случай летучей нефти.




Для случае черной нефти ( R_v = R_{vn} = R_{vp} = 0) некторые из вышеприведенных формул упрощаются:

(20) q_t = B_w \, q_W + B_o \, q_O + B_g \, ( q_G - R_s \, q_O)

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(21) c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o ) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g + R_{sp} s_o

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(22) \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s)

эффективная проводимость пород  как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(23) \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} }

гравитационная компонента потока при опорном давлении P_{\bf ref}



Для режима двухфазной фильтрации недонасыщенной нефти (а именно в этом случае модель Перрина дает наиболее удовлетворительное количественное приближение) вышеприведенные формулы упрощаются еще больше: 

(24) q_t = B_w \, q_W + B_o q_O

суммарный отбор воды, нефти и газа в пластовых условиях

(25) c_t(s) = c_r + c_w s_w + c_o s_o

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(26) \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s)

эффективная проводимость пород  как функция насыщенности при опорном давлении P_{\bf ref}

(27) \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro}}

гравитационная компонента потока при опорном давлении P_{\bf ref}

(28) \sigma = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \, h = k \, h\, \Bigg[ \frac{k_{rw}}{\mu_w} + \frac{k_{ro}}{\mu_o} \Bigg]


гидропроводность пласта при опорном давлении P_{\bf ref}



Несмотря на то, что приближение Перрина на практике чаще всего приводит к недостаточно аккуратным количественным оценкам давления оно, тем не менее:
 

  • дает правильное представление о характере отклика давления на мультифазные отборы (или закачку),
     
  • вводит понятие мультифазной проводимости, сжимаемости, гидропроводности и пьезопроводности пласта, 
     
  • а также от чего именно и в какой степени они зависят


Все это делает модель Перрина полезным аналитическим и учебно-методическим инструментом. 


При численных оценках надо помнить, что чем выше содержание легкой нефти и газа в пласте и чем больше перепад давления в течении исследуемого интервала времени, тем хуже будет оценка давления по модели Перрина. 


Более аккуратные оценки давления при мультифазной фильтрации можно получить на основе:
 

See also


Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation


Reference


 

  1. Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
     
  2. Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.
     
  3. Пример оформления ОФП.xls 


  • No labels