Permeability prediction belongs to the secondary interpretation which means that it is based on results of preliminary open-hole logs interpretation in terms of volumetric rock model (usually, Effective porosity and Shaliness) and normally does not involve direct inputs from open-hole logs.

Some open-hole logs (like variation between near and far zone resistivity) respond to permeability but can not be used in quantitative analysis because the value of response on other rock properties which are difficult to assess and account for.

Inputs & Outputs

where  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}l(x,y,z)\end{array} //]]>$ is the along-hole depth and $//<![CDATA[ \begin{array}{l}(x,y,z)\end{array} //]]>$ –  3D spatial coordinates.

The model parameters are being fit to absolute permeability core data for each lithofacies separately $//<![CDATA[ \begin{array}{l}LFI(l)\end{array} //]]>$.

Models

Exponential model

Popular empirical model:

Power model

Popular physical model:

In the early times this model was though to be empirical but later on it was shown that it has a clear physical meaning.

Dual-component power model

Если общий объем низкопоровых пропластков в пределах залежи велик и суммарные запасы внутри таких пропластков значительны, то пренебрегать проницаемостью в таких пропластках нельзя и необходимо строить двухкомпонентную модель, учитывающая различие в модели проницаемости для низкопроницаемых и высокопроницаемых пропластках.

Популярной моделью на этом пути является модель двухстепенной проницаемости:

в котором компонента  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}k_1 \, \phi^{m_1}\end{array} //]]>$ определяет проницаемость для низкопроницаемых пропластков, а компонента  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}k_2 \, \phi^{m_2}\end{array} //]]>$ определяет проницаемость для высокопроницаемых пропластков.

Эта модель имеет физическое обоснование в рамках классической модели гидродинамического потока в поровом коллекторе с фрактальной структурой.

Kozeny-Carman model

Модель Козени-Кармана является исторически первой и наиболее популярной физической моделью проницаемости, основанной на гидродинамических уравнениях флюида в поровом коллекторе с упрощенной структурой независимых друг от друга капилляров разной длины, диаметра и формы и представляет собой линейную зависимость индекса качества пород от нормализованной пористости  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi_r\end{array} //]]>$:

где множитель  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}FZI\end{array} //]]>$  называется Динамическим Индексом Пород (Flow Zone Index) или сокращенно ДИП,  пропорционален размеру породообразующих зерен  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}D_g\end{array} //]]>$:

 и предполагается постоянным для каждой литофации

Явное выражение проницаемости в модели Кармана-Козени дается следующей формулой:

General approach to permeability modelling

В отличие от простой теоретической модели Кармана-Козени в большинстве практических случаев динамический индекс пород не является постоянной величиной и варьируется внутри заданной литофации, в зависимости от конкретного значения пористости и глинистости пласта:

которая учитывает вариабельность пористости и степени заглинизированности коллектора внутри одной литофации.

На практике динамический индекс пород удобнее коррелировать с относительной (нормализованной) пористостью  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi_r\end{array} //]]>$:

После того, как зависимость  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}FZI(\phi)\end{array} //]]>$ построена, рассчитывается индекс качества коллектора:

а на его основе и проницаемость

В частном случае, когда  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}FZI(\phi) = \rm const\end{array} //]]>$ является постоянной величиной внутри каждой литофации, модель проницаемости  (10) сводится к модели Козени-Кармана  (6).

Dual-component Kozeny-Carman model

Для более тонкой настройки проницаемости можно использовать обобщенную двух-компонентную модель Кармана-Козени

где

Константы   $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ FZI_{01}, \, FZI_{02} \}\end{array} //]]>$ описывают предельно высокие значения динамического индекса заданной литофации для пропластков с низкой заглинизированностью.

Константы  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ V_{sh1}, \, V_{sh2} \}\end{array} //]]>$ описывают критические значения глинистости при которых соответствующая компонента проницаемости исчезает.

Константы   $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ g_1, \, g_2 \}\end{array} //]]>$ описывают степень сцементированности глин и при низких значениях приводят к ослаблению зависимости динамического индекса пласта от коэффициента глинистости.

Эта модель описывает большое количество практических случаев в широких пределах изменения пористости и глинистости.

Главное отличие формулы  (11) от  (3) является то, что в координатах  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ FZI, \, \phi_r \}\end{array} //]]>$ керновые данные, как правило, имеют гораздо лучшую кучность, чем в координатах  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ k, \, \phi \}\end{array} //]]>$ и формула  (11) описывает гораздо более слабую зависимость от пористости (то есть числа  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ m_1, \, m_2 \}\end{array} //]]>$ очень малы), что позволяет строить более точные модели проницаемости. 

Artificial Neural Network permeability model

Нейросетевая модель проницаемости основывается на универсальной нейросетевой регрессии динамического индекса пород  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}FZI\end{array} //]]>$ на глинистость  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}V_{sh}\end{array} //]]>$ и нормализованную пористость  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi_r\end{array} //]]>$:

Она в состоянии описать более сложные виды зависимости, чем двух-компонентная модель Кармана-Козени  (11).

Однако, как и все виды виды универсальных регрессий, эта модель требует достаточного количества репрезентативного исходного материала по каждой литофации, для настройки коэфициентов регрессии (в данном случае для обучения нейронной сети). 

Cut-off

Для абсолютного большинства коллекторов проницаемость низкопоровых пропластков имеет более слабую зависимость от пористости.

В первом приближении этой зависимостью можно пренебречь и считать проницаемость в зоне малых значений пористости равной нулю:

где  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi_0\end{array} //]]>$ – минимальная пористость, определяющая отсечку проницаемого коллектора.