...
| LaTeX Math Block |
|---|
| \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_0^2 \, q_0^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_0^2 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| u(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p) \cdot A(l)} |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| q(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p)} |
|
(see Derivation of Stationary Isothermal Homogenous Pipe Flow Pressure Profile @model )
Approximations
...
Incompressible fluid with constant friction
...
The first term in
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:
| Anchor |
|---|
MFM | MFM | ...
...
| user | ama@naftacollege.com |
|---|
| group | sofoil |
|---|
Профиль давления
В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола
происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяютусловию баланса массы движущегося потока:
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MatBal2 |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где
...
...
Image Removed
...
...
...
...
...
профиль поперечного сечения ствола скважины
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) |
|---|
|
...
...
...
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Для несжимаемой жидкости
в отсутствии трения уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const |
и называется уравнением Бернулли.
Если дебит скважины на устье составляет
, а плотность воды на устье , то уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно записать в следующем виде:| LaTeX Math Block |
|---|
|
A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
в | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту
может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :| LaTeX Math Block |
|---|
|
\sin \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} |
|---|
|
и уравнение может быть переписано следующим образом:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_implicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления
и, следовательно:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
|---|
|
– сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_explicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
...
...
...
...
Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью.In water producing or water injecting wells the friction factor can be assumed constant
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | f(l) = f_s = \rm const |
|---|
|
along-hole ( see
Darcy friction factor in water producing/injecting wells ).
...
References
...
| Show If |
|---|
|
| Panel |
|---|
| bgColor | papayawhip |
|---|
| title | ARAX |
|---|
|
|
|
...
