Motivation
...
One of the key problems in designing the pipelines and wells and controlling the fluid transport along is to predict the pressure along-hole pressure distribution during the stationary fluid transportchallenges in Pipe Flow Dynamics is to predict the pressure distribution along the pipe during the steady-state fluid transport.
In many practical cases the flow stationary pressure distribution can be considered as isothermal or quasiapproximated by Isothermal or Quasi-isothermal homogenous fluid flow model.
Pipeline flow simulator Flow Pressure Model is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, gravity effects and fluid friction with pipeline walls.
Definition
Outputs
...
| Inputs | Ouputs |
|---|
Pipeline trajectory {\bf r} = {\bf r}along-pipe distribution of stabilised pressure pPipeline cross-section area Aalong-pipe distribution of stabilised flow rate Flow velocity distribution along the pipe |
Inputs
...
q(l) densitytemperature at inlet point ( |
\rho(T, p and fluid viscosity \mu(T, palong distribution of stabilised average flow velocity u(l) | ...
...
| user | ama@naftacollege.com |
|---|
| group | sofoil |
|---|
Профиль давления
...
...
| Fluid pressure at inlet point ( |
...
...
...
условию баланса массы движущегося потока:
...
...
...
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
| --uriencoded--\displaystyle \cos \theta (l) = \frac%7Bdz%7D%7Bdl%7D |
|
| |
...
Assumptions
...
...
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Уравнение
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
часто в литературе записывают как разложение изменения давление вдоль ствола скважины на компоненты:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_General |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f |
где
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_G |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta, |
...
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_v |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v = - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}, |
кинетическая компонента вариация давления, формируемая вариацией скорости потока
вдоль ствола скважины, которая вызвана сжатием-расжатием флюида и изменением диаметра труб| --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D = 0 |
|
| | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial T%7D%7B\partial t%7D =0 \rightarrow T(t,l) = T(l) |
|---|
|
|
| Homogenous flow | |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial p%7D%7B\partial \tau_x%7D =\frac%7B\partial p%7D%7B\partial \tau_y%7D =0 \rightarrow p(t, \tau_x,\tau_y,l) = p(l) |
|---|
|
| |
Equations
...
| LaTeX Math Block |
|---|
| \left( \rho(p) - j_m^2 \cdot c(p) \right) \cdot \frac{dp}{dl} = \rho^2(p) |
|
...
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_f |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f = - \frac{ f \, \rho v^2}{2 d}, |
фрикционная компонента вариации давления, формируемая трением флюида со стенкой скважины
она всегда имеет отрциательный знак и приводит к потере давления вдоль направления движения потока
Для несжимаемой жидкости
в отсутствии трения уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано:
...
...
...
...
...
...
...
и называется уравнением Бернулли.
...
| title | Вывод уравнений движения флюида в стволе |
|---|
...
Уравнение неразрывности одномерного потока с линейной плотностью
массы:...
...
...
для стационарного режима течения принимает вид:
...
...
откуда и следует формула
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
.Для вывода уравнения
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
заметим, что на бесконечно малый элемент объема жидкости массой | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dm = \rho \, A \, dl |
|---|
|
действуют четыре сил: – сила гидравлического напора, вызванная разностью давлений на торцах элемента, – сила гравитации, – сила трения со стенками трубы, – номральная реакция опоры стенок трубы.Рассмотрим стационарное (то есть установившееся во времени) течение потока по трубе.
Движение поперек трубы отсуствует и, следовательно, сумма проекций всех сил на трансверсальное направление
к трубе должно равняться нулю:...
...
dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0where
...
...
Уравнение движения флюида вдоль оси трубы
имеет вид:| LaTeX Math Block |
|---|
|
dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l |
где
представляет собой изменение импульса | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | I = \delta m \, v = \rho \, A \, \delta l \, v |
|---|
|
элементарного объема флюида под действием внешних сил.Изменение импульса c учетом стационарности скорости потока
и сохранения массы | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{d (\delta m)}{dt}=0 |
|---|
|
имеет вид: | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt} (\delta m \, v) = \frac{d (\delta m \, v)}{\delta l} \frac{dl}{dt} = v \frac{ d (\delta m) \, v + \delta m \, dv}{\delta l} =v \frac{\delta m}{ \delta l} dv = \rho \, A \, v \, dv |
|---|
|
.Сила, формируемая гидравлическим напором
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_p \bigg |_l = A (p - dp) - A p = - A \, dp |
|---|
|
.Проекция гравитационной силы
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_g \bigg |_l = \delta m \, g \, \sin \theta = \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta |
|---|
|
.Сила трения со стенками трубы дается феноменологическим уравнением Дарси-Вейсбаха:
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_f \bigg |_l = - \frac{f}{d} \frac{dm \, v^2}{2} = - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l |
|---|
|
.Аксиальная компонента реакции опоры труб по определению отсутствует
.Подставляя вышеприведенные выражения в уравнение
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим:| LaTeX Math Block |
|---|
|
- A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv
|
Разделив уравнение на бесконечно малый объем элемента
получим | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
.Если дебит скважины на устье составляет
, а плотность воды на устье , то уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно записать в следующем виде:| LaTeX Math Block |
|---|
|
A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
в | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:...
| --uriencoded--\displaystyle j_m =\frac%7B \rho_0 \, q_0%7D%7BA%7D= \rm const |
|
| mass flux |
| Fluid flowrate at inlet point () |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \rho_0 = \rho(T_0, p_0) |
|---|
|
| Fluid density at inlet point () |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \rho(l) = \rho(T(l), p(l)) |
|---|
|
| Fluid density at any point |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle с(p) = \frac%7B1%7D%7B\rho%7D \left( \frac%7B\partial \rho%7D%7B\partial p%7D \right)_T |
|---|
|
| Fluid Compressibility |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--f(T, \rho) = f(%7B\rm Re%7D(T, \rho), \, \epsilon) |
|---|
|
| Darcy friction factor |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle %7B\rm Re%7D(T,\rho) = \frac%7Bj_m \cdot d%7D%7B\mu(T, \rho)%7D |
|---|
|
| Reynolds number in Pipe Flow |
| dynamic viscosity as function of fluid temperature and density |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle d = \sqrt%7B \frac%7B4 A%7D%7B\pi%7D%7D= \rm const |
|---|
|
| Characteristic linear dimension of the pipe (or exactly a pipe diameter in case of a circular pipe) |
Alternative forms
...
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \ |
|
...
...
...
Далее учтем, что угол наклона к горизонту
может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :| LaTeX Math Block |
|---|
|
\sin \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид:
...
...
right)_G + \left( \frac{dp}{dl} |
|
...
...
...
...
where
...
...
| --uriencoded--\displaystyle \left( \frac%7Bdp%7D%7Bdl%7D \right)_G = \rho \cdot g \cdot \cos \theta |
|
|
gravity losses which represent pressure losses for upward flow and pressure gain for downward flow |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \left( \frac%7Bdp%7D%7Bdl%7D \right)_K = u%5e2 \cdot \frac%7Bd \rho%7D%7Bdl%7D |
|---|
|
|
kinematic losses, which grow contribution at high velocities
and high fluid compressibility (like turbulent gas flow) |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \left( \frac%7Bdp%7D%7Bdl%7D \right)_f = - \frac%7B j_m%5e2%7D%7B2 d%7D \cdot \frac%7Bf%7D%7B\rho%7D |
|---|
|
|
friction losses which are always negative along the flow direction |
Approximations
See also
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_implicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления
и, следовательно:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
|---|
|
– сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_explicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
...
...
...
...
Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью.Если предположить постоянство коэффициента трения
и несжимаемость флюида | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \rho(p) = \rho_s = \rm const |
|---|
|
, то уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно явно проинтегрировать:| LaTeX Math Block |
|---|
|
p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l |
Pressure gradient will be:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s |
where
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \cos \theta(l) = \frac{dz(l)}{dl} |
|---|
|
The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} = \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s |
В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин.
In water producing or water injecting wells the friction factor can be assumed constant
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | f(l) = f_s = \rm const |
|---|
|
along-hole ( see Darcy friction factor in water producing/injecting wells )....
| Show If |
|---|
|
| Panel |
|---|
| bgColor | papayawhip |
|---|
| title | ARAX |
|---|
| |
|
