Show If

group	arax

Panel

bgColor	papayawhip
title	ARAX

Рассмотрим однофазную фильтрацию ньютоновской жидкости

LaTeX Math Block Reference

anchor	MainPiezoEquation
page	Newtonian single-phase pressure diffusion @model

:

LaTeX Math Block

anchor	MainPiezoEquation
alignment	left

 \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big(  \nabla p - \rho {\bf g} \big) =  q(t, {\bf r})

Пласт называется слабо-сжимаемым, если:

1) параметры среды (пород и флюида), входящие в коэффициенты

...

уравнения

LaTeX Math Block Reference

anchor	MainPiezoEquation

не зависят от давления:

LaTeX Math Inline

body	\phi (p) = \rm const

,

LaTeX Math Inline

body	c_r(p) = \rm const

,

LaTeX Math Inline

body	c(p) = \rm const

,

LaTeX Math Inline

body	\mu (p) = \rm const

,

LaTeX Math Inline

body	k(p) = \rm const

,

и, следовательно,

LaTeX Math Inline

body	c_t (p) = \rm const

,

LaTeX Math Inline

body	\alpha(p) = \rm const

2) значение сжимаемости флюида достаточно низкое, чтобы соблюдалось условие

LaTeX Math Block

anchor	5K3LT
alignment	left

c \ll \frac{\Delta p}{ |\nabla p|^2 }

в результате чего дивергентный член уравнения

...

непрерывности

LaTeX Math Block Reference

anchor	Continuity
page	Newtonian single-phase pressure diffusion @model

принимает вид

LaTeX Math Block

anchor	grad_rho=0
alignment	left

 \nabla \cdot ( \rho {\bf u} ) = \rho \, \nabla \cdot  {\bf u} + \rho \, c \,  {\bf u} \cdot \nabla p  =  \rho \, (\nabla \cdot  {\bf u} ) \bigg[ 1 + c \frac{{\bf u} \cdot \nabla p }{|\nabla {\bf u}|}  \bigg] =  \rho \, \nabla \cdot  {\bf u}

Expand

title	выкладка

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\frac{|\nabla {\bf u}|}{{\bf u} \cdot \nabla p }  = \frac{\Delta p -  {\bf g} \cdot \nabla \rho }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }= \frac{\Delta p -  \rho \, c \, {\bf g} \cdot   \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }
= c \frac{(1/c) \, \Delta p -  \rho \, {\bf g} \cdot   \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }  \ll 
c \frac{|\nabla p|^2 -  \rho \, {\bf g} \cdot   \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } = c

\rightarrow |\nabla {\bf u}| \ll c {\bf u} \cdot \nabla p

где

LaTeX Math Inline

body	\bf u

– скорость потока флюида в пласте

LaTeX Math Block Reference

anchor	Darci
page	Newtonian single-phase pressure diffusion @model

Отсюда получается основное уравнение однофазной диффузии в приближении слабо-сжимаемого флюида:

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, ( \nabla p - \rho {\bf g} ) \big) + q(t, {\bf r})

которое теперь является линейным дифференциальным уравнением.

Условие

LaTeX Math Block Reference

anchor	grad_rho=0

по сути означает что изменение давления в объема пласте настолько медленное, что пространственным градиентом плотности можно пренебречь и следовательно

LaTeX Math Block

anchor	WE7GD
alignment	left

 \nabla p - \rho {\bf g} = \nabla ( p - \rho {\bf g}) = \nabla \tilde p

где

LaTeX Math Inline

body	\tilde p = p - \rho(p) \, g \, (z - z_0)

– скорректированное давление на опорную

...

глубину

LaTeX Math Inline

body	z_0

(датум), которая часто выбирается на уровне ВНК.

В результате уравнение пьезодинамики в приближении слабо-сжимаемого пласта принимает вид:

LaTeX Math Block

anchor	IW63I
alignment	left

c_t \phi \, \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \,  \nabla \tilde p  \big) + q(t, {\bf r})

В случае однородного коллектора

LaTeX Math Inline

body	\nabla k = 0

и слабой зависимости вязкости от

...

давления

LaTeX Math Inline

body	\frac{d \mu}{ dp} \sim 0

(что, как правило, всегда выполняется для слабо-сжимаемого приближения) основное уравнение пьезодинамики принимает вид:

LaTeX Math Block

anchor	FQZSD
alignment	left

 \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \chi \Delta \tilde p + \frac{1}{\phi c_t}  q(t, {\bf r})

где

LaTeX Math Inline

body	\chi = \frac{k}{\mu} \frac{1}{\phi c_t}

– пьезопроводность пласта (константа)

...

и

LaTeX Math Inline

body	\phi c_t

– упругоемкость пласта (константа).

В таблице 1 приведен явный вид уравнения однофазной пьезодинамики для наиболее популярных случаев фильтрационной симметрии.

Табл. 1

Линейная одномерная диффузия

Радиальная одномерная диффузия

Двумерная диффузия

Трехмерная диффузия

Неоднородный пласт

LaTeX Math Inline

body	\frac{k}{\mu} = \frac{k}{\mu} \big( x, \, y, \, z \big)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p}{\partial x}  \bigg) + q(t, x)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg( \frac{k}{\mu} \, r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + q(t, r)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) + 
\frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y}\bigg)
\bigg]  + q(t, x)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) + 
\frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y} \bigg)
 + 
\frac{\partial }{\partial z} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial z}\bigg)
\bigg]  + q(t, x)

Однородный пласт

LaTeX Math Inline

body	\frac{k}{\mu} = \rm const

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg(r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} 
+\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} \bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} 
+\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} 
+\frac{\partial^2 p }{\partial z^2}
\bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели

LaTeX Math Inline

body	h

толщина пласта, где протекает фильтрация

LaTeX Math Inline

body	\phi

пористость пласта

LaTeX Math Inline

body	k

фазовая проницаемость пласта для данного флюида

LaTeX Math Inline

body	\mu

вязкость флюида

LaTeX Math Inline

body	c_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dP}

сжимаемость порового скелета

LaTeX Math Inline

body	c = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dP}

сжимаемость флюида

LaTeX Math Inline

body	c_t = c_r + c

сжимаемость пласта

LaTeX Math Inline

body	\alpha =\frac{k} {\mu}

проводимость пласта

LaTeX Math Inline

body	\beta = \phi c_t

упругоемкость пласта

LaTeX Math Inline

body	\sigma = \frac{k \, h} {\mu}

гидропроводность пласта

LaTeX Math Inline

body	\chi = \frac{\alpha}{\beta}= \frac{k} {\mu} \frac{1}{\phi c_t}

пьезопроводность пласта

Page tree

Versions Compared

Old Version 6

New Version Current

Key

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели

Page tree

Page History

Versions Compared

Old Version 6

New Version Current

Key

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели