Рассмотрим однофазную фильтрацию ньютоновской жидкости :

 \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big(  \nabla p - \rho {\bf g} \big) =  q(t, {\bf r})

Пласт называется слабо-сжимаемым, если:

1) параметры среды (пород и флюида), входящие в коэффициенты уравнения не зависят от давления:

, , , , ,

и, следовательно, ,

2) значение сжимаемости флюида достаточно низкое, чтобы соблюдалось условие

c \ll \frac{\Delta p}{ |\nabla p|^2 }

в результате чего дивергентный член уравнения непрерывности принимает вид

 \nabla \cdot ( \rho {\bf u} ) = \rho \, \nabla \cdot  {\bf u} + \rho \, c \,  {\bf u} \cdot \nabla p  =  \rho \, (\nabla \cdot  {\bf u} ) \bigg[ 1 + c \frac{{\bf u} \cdot \nabla p }{|\nabla {\bf u}|}  \bigg] =  \rho \, \nabla \cdot  {\bf u}

\frac{|\nabla {\bf u}|}{{\bf u} \cdot \nabla p }  = \frac{\Delta p -  {\bf g} \cdot \nabla \rho }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }= \frac{\Delta p -  \rho \, c \, {\bf g} \cdot   \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }
= c \frac{(1/c) \, \Delta p -  \rho \, {\bf g} \cdot   \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }  \ll 
c \frac{|\nabla p|^2 -  \rho \, {\bf g} \cdot   \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } = c

\rightarrow |\nabla {\bf u}| \ll c {\bf u} \cdot \nabla p

где – скорость потока флюида в пласте

Отсюда получается основное уравнение однофазной диффузии в приближении слабо-сжимаемого флюида:

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, ( \nabla p - \rho {\bf g} ) \big) + q(t, {\bf r})

которое теперь является линейным дифференциальным уравнением.

Условие по сути означает что изменение давления в объема пласте настолько медленное, что пространственным градиентом плотности можно пренебречь и следовательно

 \nabla p - \rho {\bf g} = \nabla ( p - \rho {\bf g}) = \nabla \tilde p

где – скорректированное давление на опорную глубину (датум), которая часто выбирается на уровне ВНК.

В результате уравнение пьезодинамики в приближении слабо-сжимаемого пласта принимает вид:

c_t \phi \, \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \,  \nabla \tilde p  \big) + q(t, {\bf r})

В случае однородного коллектора и слабой зависимости вязкости от давления (что, как правило, всегда выполняется для слабо-сжимаемого приближения) основное уравнение пьезодинамики принимает вид:

 \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \chi \Delta \tilde p + \frac{1}{\phi c_t}  q(t, {\bf r})

где – пьезопроводность пласта (константа) и – упругоемкость пласта (константа).

В таблице 1 приведен явный вид уравнения однофазной пьезодинамики для наиболее популярных случаев фильтрационной симметрии.

Табл. 1

Линейная одномерная диффузия

Радиальная одномерная диффузия

Двумерная диффузия

Трехмерная диффузия

Неоднородный пласт

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p}{\partial x}  \bigg) + q(t, x)

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg( \frac{k}{\mu} \, r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + q(t, r)

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) + 
\frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y}\bigg)
\bigg]  + q(t, x)

c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) + 
\frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y} \bigg)
 + 
\frac{\partial }{\partial z} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial z}\bigg)
\bigg]  + q(t, x)

Однородный пласт

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg(r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} 
+\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} \bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} 
+\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} 
+\frac{\partial^2 p }{\partial z^2}
\bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели


	толщина пласта, где протекает фильтрация
	пористость пласта
	фазовая проницаемость пласта для данного флюида
	вязкость флюида
	сжимаемость порового скелета
	сжимаемость флюида
	сжимаемость пласта

	проводимость пласта
	упругоемкость пласта
	гидропроводность пласта
	пьезопроводность пласта