Рассмотрим однофазную фильтрацию ньютоновской жидкости (Newtonian single-phase pressure diffusion @model:7):

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) = q(t, {\bf r})\end{array}$

Пласт называется слабо-сжимаемым, если:

1) параметры среды (пород и флюида), входящие в коэффициенты уравнения (1) не зависят от давления:

$\begin{array}{l}\phi (p) = \rm const\end{array}$ , $\begin{array}{l}c_r(p) = \rm const\end{array}$ , $\begin{array}{l}c(p) = \rm const\end{array}$ , $\begin{array}{l}\mu (p) = \rm const\end{array}$ , $\begin{array}{l}k(p) = \rm const\end{array}$ ,

и, следовательно, $\begin{array}{l}c_t (p) = \rm const\end{array}$ , $\begin{array}{l}\alpha(p) = \rm const\end{array}$

2) значение сжимаемости флюида достаточно низкое, чтобы соблюдалось условие

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle c \ll \frac{\Delta p}{ \|\nabla p\|^2 }\end{array}$

в результате чего дивергентный член уравнения непрерывности (Newtonian single-phase pressure diffusion @model:2) принимает вид

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle \nabla \cdot ( \rho {\bf u} ) = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho \, c \, {\bf u} \cdot \nabla p = \rho \, (\nabla \cdot {\bf u} ) \bigg[ 1 + c \frac{{\bf u} \cdot \nabla p }{\|\nabla {\bf u}\|} \bigg] = \rho \, \nabla \cdot {\bf u}\end{array}$

выкладка

(4)

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{|\nabla {\bf u}|}{{\bf u} \cdot \nabla p } = \frac{\Delta p - {\bf g} \cdot \nabla \rho }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }= \frac{\Delta p - \rho \, c \, {\bf g} \cdot \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } = c \frac{(1/c) \, \Delta p - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } \ll c \frac{|\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } = c \rightarrow |\nabla {\bf u}| \ll c {\bf u} \cdot \nabla p\end{array}$

где $\begin{array}{l}\bf u\end{array}$ – скорость потока флюида в пласте (Newtonian single-phase pressure diffusion @model:1)

Отсюда получается основное уравнение однофазной диффузии в приближении слабо-сжимаемого флюида:

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, ( \nabla p - \rho {\bf g} ) \big) + q(t, {\bf r})\end{array}$

которое теперь является линейным дифференциальным уравнением.

Условие (3) по сути означает что изменение давления в объема пласте настолько медленное, что пространственным градиентом плотности можно пренебречь и следовательно

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \nabla p - \rho {\bf g} = \nabla ( p - \rho {\bf g}) = \nabla \tilde p\end{array}$

где $\begin{array}{l}\tilde p = p - \rho(p) \, g \, (z - z_0)\end{array}$ – скорректированное давление на опорную глубину $\begin{array}{l}z_0\end{array}$ (датум), которая часто выбирается на уровне ВНК.

В результате уравнение пьезодинамики в приближении слабо-сжимаемого пласта принимает вид:

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t \phi \, \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, \nabla \tilde p \big) + q(t, {\bf r})\end{array}$

В случае однородного коллектора $\begin{array}{l}\nabla k = 0\end{array}$ и слабой зависимости вязкости от давления $\begin{array}{l}\frac{d \mu}{ dp} \sim 0\end{array}$ (что, как правило, всегда выполняется для слабо-сжимаемого приближения) основное уравнение пьезодинамики принимает вид:

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \chi \Delta \tilde p + \frac{1}{\phi c_t} q(t, {\bf r})\end{array}$

где $\begin{array}{l}\chi = \frac{k}{\mu} \frac{1}{\phi c_t}\end{array}$ – пьезопроводность пласта (константа) и $\begin{array}{l}\phi c_t\end{array}$ – упругоемкость пласта (константа).

В таблице 1 приведен явный вид уравнения однофазной пьезодинамики для наиболее популярных случаев фильтрационной симметрии.

Табл. 1

Линейная одномерная диффузия

Радиальная одномерная диффузия

Двумерная диффузия

Трехмерная диффузия

Неоднородный пласт

$\begin{array}{l}\frac{k}{\mu} = \frac{k}{\mu} \big( x, \, y, \, z \big)\end{array}$

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p}{\partial x} \bigg) + q(t, x)\end{array}$

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg( \frac{k}{\mu} \, r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + q(t, r)\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) + \frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y}\bigg) \bigg] + q(t, x)\end{array}$

(12)

$\begin{array}{l}\displaystyle c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) + \frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y} \bigg) + \frac{\partial }{\partial z} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial z}\bigg) \bigg] + q(t, x)\end{array}$

Однородный пласт

$\begin{array}{l}\frac{k}{\mu} = \rm const\end{array}$

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)\end{array}$

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg(r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)\end{array}$

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} \bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)\end{array}$

(16)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 p }{\partial z^2} \bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r)\end{array}$

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели


$\begin{array}{l}h\end{array}$	толщина пласта, где протекает фильтрация
$\begin{array}{l}\phi\end{array}$	пористость пласта
$\begin{array}{l}k\end{array}$	фазовая проницаемость пласта для данного флюида
$\begin{array}{l}\mu\end{array}$	вязкость флюида
$\begin{array}{l}c_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dP}\end{array}$	сжимаемость порового скелета
$\begin{array}{l}c = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dP}\end{array}$	сжимаемость флюида
$\begin{array}{l}c_t = c_r + c\end{array}$	сжимаемость пласта

$\begin{array}{l}\alpha =\frac{k} {\mu}\end{array}$	проводимость пласта
$\begin{array}{l}\beta = \phi c_t\end{array}$	упругоемкость пласта
$\begin{array}{l}\sigma = \frac{k \, h} {\mu}\end{array}$	гидропроводность пласта
$\begin{array}{l}\chi = \frac{\alpha}{\beta}= \frac{k} {\mu} \frac{1}{\phi c_t}\end{array}$	пьезопроводность пласта

Page tree

Linear newtonian single-phase pressure diffusion @model

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели