Рассмотрим протяженный по площади пласт с пористостью $\begin{array}{l}\phi(\bf r)\end{array}$ , проницаемостью $\begin{array}{l}k(\bf r)\end{array}$ , насыщенный однофазным флюидом, залегающий на переменной глубине $\begin{array}{l}z_{\rm top}({\bf r})\end{array}$ и переменной толщиной $\begin{array}{l}h({\bf r})\end{array}$ .

Под пластом понимается двухкомпонентная система = поровый коллектор + насыщающий поры флюид.

Флюид полагается однофазным и его фильтрационные характеристики сводятся к плотности $\begin{array}{l}\rho\end{array}$ , сжимаемости $\begin{array}{l}с = \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp}\end{array}$ и вязкости $\begin{array}{l}\mu\end{array}$ , в общем случае зависящие от температуры и давления в данной точке пласта, которые определяются уравнением состояния данного флюида (PVT-моделью).

Рассмотрим фильтрацию ньютоновской жидкости в изотермических условиях.

Уравнение движения в поровом коллекторе дается законом фильтрации Дарси:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle {\bf u}({\bf r}) = - \alpha \, ( \nabla p - \rho \, { \bf g})\end{array}$

где $\begin{array}{l}\bf r\end{array}$ – радиус-вектор точки пласта, где записана вышеуказанная связь, $\begin{array}{l}\alpha = \frac{k}{\mu}\end{array}$ – проводимость пласта, $\begin{array}{l}{\bf g} = g \, {\bf e}_z\end{array}$ – вектор ускорения свободного падения, $\begin{array}{l}{\bf e}_z\end{array}$ единичный орт к центру земли, $\begin{array}{l}g = 9.81 \, м^2/с\end{array}$ – константа ускорения свободного падения на поверхности земли.

Формат появления проводимости $\begin{array}{l}\alpha = \frac{k}{\mu}\end{array}$ в уравнении движения указывает на то, что динамика давления не способна различать вклад от проницаемости $\begin{array}{l}k\end{array}$ пласта и вязкости $\begin{array}{l}\mu\end{array}$ флюида по отдельности.

Формат связи вектора скорости потока и градиента давления в уравнении (1) говорит о мгновенной реакции потока во всем объеме пласта на изменения градиента давления в любой точке.
Это приближение справедливо только для достаточно медленных диффузионных процессов и часто нарушается для быстрых процессов, наблюдаемых на практике (см. реологическая фильтрация).

Проводимость пласта в общем случае является функцией координат, пластового давления и пространственного градиента давления: $\begin{array}{l}\alpha = \alpha({\bf r}, p, |\nabla p|)\end{array}$ то есть формирует нелинейную связь между скоростью потока, давлением в пласте и градиентом давления в пласте (см. Non-linear single-phase pressure diffusion @model). Тем не менее, для широкого круга задач проводимость пласта остается примерно постоянной в течении исследуемого интервала времени.

Continuity equation for the fluid transport:

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m(t, {\bf r})\end{array}$

где $\begin{array}{l}q_m(t, r) = \frac{d}{dt} \big( \frac{\delta m_{fl}}{ \delta V } \big)\end{array}$ – скорость изменения массы флюида на единицу объема пласта за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин), которую можно представить как:

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_m(t, {\bf r}) = \rho({\bf r}) \, q(t, {\bf r})\end{array}$

где $\begin{array}{l}q(t, r) = \frac{d}{dt} \big( \frac{\delta V_{fl}}{ \delta V } \big)\end{array}$ – скорость изменения относительного объема флюида в пластовых условиях за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин).

Зависимость плотности флюида от давления в данной точке пласта $\begin{array}{l}\rho(p)\end{array}$ считается известной из уравнение состояние флюида (PVT-модели).

Из уравнения состояния вытекает, что $\begin{array}{l}\frac{d (\rho \phi) }{dp} = \rho \frac{d \phi }{dp} + \frac{d \rho }{dp} \phi = \rho \phi \bigg[ \frac{1}{\phi} \frac{d \phi}{ dp} + \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{ dp} \bigg] = \rho \phi (c_r + c) = \rho \phi c_t\end{array}$ ,

где $\begin{array}{l}c_r = \frac{1}{\phi} \, \frac{\partial \phi}{\partial p}\end{array}$ – сжимаемость порового коллектора, $\begin{array}{l}c = \frac{1}{\rho} \, \frac{\partial \rho}{\partial p}\end{array}$ – сжимаемость флюида, $\begin{array}{l}c_t = c_r + c\end{array}$ – общая сжимаемость пласта (коллектор + флюид) и следовательно $\begin{array}{l}\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} = \frac{d (\rho \phi)}{dp} \, \frac{\partial p}{\partial t} = \rho \, \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t}\end{array}$ и уравнение непрерывности примет вид:

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) = \rho q(t, {\bf r})\end{array}$

Распишем дивергентный член:

(5)

$\begin{array}{l}\displaystyle \nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \nabla \rho \cdot {\bf u} = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \frac{d \rho}{dp} \, \nabla p \cdot {\bf u} = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho c \, \nabla p \cdot {\bf u} = \rho \big( \nabla \cdot {\bf u} + c \, \nabla p \cdot {\bf u} \big)\end{array}$

Подставляя это в уравнение непрерывности и сокращая плотность флюида получим:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf u} + c \, \nabla p \cdot {\bf u} = q(t, {\bf r})\end{array}$

Подставляя скорость потока из (1) в уравнение непрерывности получим окончательное уравнение на давление:

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) + q(t, {\bf r})\end{array}$

которое описывает динамику поля давления в пласте и называется основным уравнением однофазной ньютоновской пьезодинамики.

Уравнение относится к категории уравнений первого порядка параболического типа и указывает на диффузионный характер отклика давления на воздействие внешних источников флюида.

Начальным условием служит произвольное распределение давления в пласте $\begin{array}{l}p_0({\bf r})\end{array}$ на момент начала работы источников $\begin{array}{l}t = 0\end{array}$ :

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle p(t=0, {\bf r}) = p_0({\bf r})\end{array}$

Граничное условие задается как на внешней границе пласта (которая может быть бесконечной и тогда в численных схемах она полагается достаточно удаленной от источников), на аквифере, так и на геологических неоднородностях (разломы, выклинивания и т.д.) и практически всегда представляет собой условие третьего рода

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg[ a + b \, p(t, {\bf r}) + c \, {\bf n} \nabla p \bigg]_{\Gamma} = 0\end{array}$

где $\begin{array}{l}a, b, c\end{array}$ – некие параметры, характеризующие давление и потоки на границе, определяемые физикой процесса.

Наиболее популярными являются:

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle p(t, {\bf r}) \bigg\|_{\Gamma} = p_{\Gamma}({\bf r})\end{array}$

Постоянное давление на границе

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle \nabla p \bigg\|_{\Gamma} = 0\end{array}$

Непроницаемая граница

Уравнение (7) с начальным условием (8) и граничным условием (9) представляют собой корректную краевую задачу, которая может решаться как аналитическими и численными методами.

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели


$\begin{array}{l}h\end{array}$	толщина пласта, где протекает фильтрация
$\begin{array}{l}\phi\end{array}$	пористость пласта
$\begin{array}{l}k\end{array}$	фазовая проницаемость пласта для данного флюида
$\begin{array}{l}\mu\end{array}$	вязкость флюида
$\begin{array}{l}c_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dP}\end{array}$	сжимаемость порового скелета
$\begin{array}{l}c = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dP}\end{array}$	сжимаемость флюида
$\begin{array}{l}c_t = c_r + c\end{array}$	сжимаемость пласта

$\begin{array}{l}\alpha =\frac{k} {\mu}\end{array}$	проводимость пласта
$\begin{array}{l}\beta = \phi c_t\end{array}$	упругоемкость пласта
$\begin{array}{l}\sigma = \frac{k \, h} {\mu}\end{array}$	гидропроводность пласта
$\begin{array}{l}\chi = \frac{\alpha}{\beta}= \frac{k} {\mu} \frac{1}{\phi c_t}\end{array}$	пьезопроводность пласта

Page tree

Newtonian single-phase pressure diffusion @model

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели