Рассмотрим протяженный по площади пласт с пористостью , проницаемостью , насыщенный однофазным флюидом,  залегающий на переменной глубине  и переменной толщиной .

Под пластом понимается двухкомпонентная система = поровый коллектор + насыщающий поры флюид.

Флюид полагается однофазным и его фильтрационные характеристики сводятся к плотности , сжимаемости  и вязкости , в общем случае зависящие от температуры и давления в данной точке пласта, которые определяются уравнением состояния данного флюида (PVT-моделью).

Рассмотрим фильтрацию  ньютоновской жидкости в изотермических условиях.

Уравнение движения в поровом коллекторе дается законом фильтрации Дарси:

{\bf u}({\bf r}) = - \alpha \, ( \nabla p - \rho \, { \bf g})

где  – радиус-вектор точки пласта, где записана вышеуказанная связь,  – проводимость пласта,   – вектор ускорения свободного падения,  единичный орт к центру земли,   – константа ускорения свободного падения на поверхности земли.

Формат появления проводимости  в уравнении движения указывает на то, что динамика давления не способна различать вклад от проницаемости  пласта и вязкости  флюида по отдельности.

Формат связи вектора скорости потока и градиента давления в уравнении  говорит о мгновенной реакции потока во всем объеме пласта на изменения градиента давления в любой точке.
Это приближение справедливо только для достаточно медленных диффузионных процессов и часто нарушается для быстрых процессов, наблюдаемых на практике (см. реологическая фильтрация).

Проводимость пласта в общем случае является функцией координат, пластового давления и пространственного градиента давления:   то есть формирует нелинейную связь между скоростью потока, давлением в пласте и градиентом давления в пласте (см. Non-linear single-phase pressure diffusion @model). Тем не менее, для широкого круга задач проводимость пласта остается примерно постоянной в течении исследуемого интервала времени.

Continuity equation for the fluid transport:

\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m(t, {\bf r})

где  – скорость изменения массы флюида на единицу объема пласта за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин), которую можно представить как:

q_m(t, {\bf r}) = \rho({\bf r}) \, q(t, {\bf r}) 

где  – скорость изменения относительного объема флюида в пластовых условиях за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин).

Зависимость плотности флюида от давления в данной точке пласта  считается известной из уравнение состояние флюида (PVT-модели).

Из уравнения состояния вытекает, что ,

где  – сжимаемость порового коллектора,   – сжимаемость флюида,  – общая сжимаемость пласта (коллектор + флюид) и следовательно  и уравнение непрерывности примет вид:

\rho \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) =  \rho q(t, {\bf r})

Распишем дивергентный член:

\nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) =  \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \nabla \rho \cdot {\bf u} = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \frac{d \rho}{dp} \,  \nabla p \cdot {\bf u}  = 
 
 \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho c  \,  \nabla p \cdot {\bf u} = 

 \rho \big( \nabla \cdot {\bf u} + c  \,  \nabla p \cdot {\bf u}  \big)

Подставляя это в уравнение непрерывности и сокращая плотность флюида получим:

 \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf u} + c  \,  \nabla p \cdot {\bf u}   =  q(t, {\bf r})

Подставляя скорость потока из  в уравнение непрерывности получим окончательное уравнение на давление: 

 \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big(  \nabla p - \rho {\bf g} \big) +  q(t, {\bf r})

которое описывает динамику поля давления в пласте и называется основным уравнением однофазной ньютоновской пьезодинамики.

Уравнение относится к категории уравнений первого порядка параболического типа и указывает на диффузионный характер отклика давления на воздействие внешних источников флюида.

Начальным условием служит произвольное распределение давления в пласте  на момент начала работы источников : 

p(t=0, {\bf r}) = p_0({\bf r})

Граничное условие задается как на внешней границе пласта (которая может быть бесконечной и тогда в численных схемах она полагается достаточно удаленной от источников), на аквифере, так и на геологических неоднородностях (разломы, выклинивания и т.д.) и практически всегда представляет собой условие третьего рода

\bigg[ a + b \, p(t, {\bf r})   + c \, {\bf n} \nabla p  \bigg]_{\Gamma} = 0

где   – некие параметры, характеризующие давление и потоки на границе, определяемые физикой процесса.

Наиболее популярными являются:

p(t, {\bf r}) \bigg|_{\Gamma} = p_{\Gamma}({\bf r})

\nabla p  \bigg|_{\Gamma} = 0

Уравнение  с начальным условием  и граничным условием  представляют собой корректную краевую задачу, которая может решаться как аналитическими и численными методами.
 

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели