Рассмотрим однофазную фильтрацию ньютоновской жидкости (Newtonian single-phase pressure diffusion @model:7):
(1) | \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) = q(t, {\bf r}) |
Пласт называется слабо-сжимаемым, если:
1) параметры среды (пород и флюида), входящие в коэффициенты уравнения (1) не зависят от давления:
\phi (p) = \rm const, c_r(p) = \rm const, c(p) = \rm const, \mu (p) = \rm const, k(p) = \rm const,
и, следовательно, c_t (p) = \rm const, \alpha(p) = \rm const
2) значение сжимаемости флюида достаточно низкое, чтобы соблюдалось условие
(2) | c \ll \frac{\Delta p}{ |\nabla p|^2 } |
в результате чего дивергентный член уравнения непрерывности (Newtonian single-phase pressure diffusion @model:2) принимает вид
(3) | \nabla \cdot ( \rho {\bf u} ) = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho \, c \, {\bf u} \cdot \nabla p = \rho \, (\nabla \cdot {\bf u} ) \bigg[ 1 + c \frac{{\bf u} \cdot \nabla p }{|\nabla {\bf u}|} \bigg] = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} |
Отсюда получается основное уравнение однофазной диффузии в приближении слабо-сжимаемого флюида:
(5) | c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, ( \nabla p - \rho {\bf g} ) \big) + q(t, {\bf r}) |
которое теперь является линейным дифференциальным уравнением.
Условие (3) по сути означает что изменение давления в объема пласте настолько медленное, что пространственным градиентом плотности можно пренебречь и следовательно
(6) | \nabla p - \rho {\bf g} = \nabla ( p - \rho {\bf g}) = \nabla \tilde p |
где
\tilde p = p - \rho(p) \, g \, (z - z_0) – скорректированное давление на опорную глубину
z_0 (датум), которая часто выбирается на уровне ВНК.
В результате уравнение пьезодинамики в приближении слабо-сжимаемого пласта принимает вид:
(7) | c_t \phi \, \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, \nabla \tilde p \big) + q(t, {\bf r}) |
В случае однородного коллектора \nabla k = 0 и слабой зависимости вязкости от давления \frac{d \mu}{ dp} \sim 0 (что, как правило, всегда выполняется для слабо-сжимаемого приближения) основное уравнение пьезодинамики принимает вид:
(8) | \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \chi \Delta \tilde p + \frac{1}{\phi c_t} q(t, {\bf r}) |
где \chi = \frac{k}{\mu} \frac{1}{\phi c_t} – пьезопроводность пласта (константа) и \phi c_t – упругоемкость пласта (константа).
В таблице 1 приведен явный вид уравнения однофазной пьезодинамики для наиболее популярных случаев фильтрационной симметрии.
Табл. 1
Линейная одномерная диффузия | Радиальная одномерная диффузия | Двумерная диффузия | Трехмерная диффузия | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Неоднородный пласт |
|
|
|
| ||||||||
Однородный пласт |
|
|
|
|
Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели
h | толщина пласта, где протекает фильтрация |
\phi | пористость пласта |
k | фазовая проницаемость пласта для данного флюида |
\mu | вязкость флюида |
c_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dP} | сжимаемость порового скелета |
c = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dP} | сжимаемость флюида |
c_t = c_r + c | сжимаемость пласта |
\alpha =\frac{k} {\mu} | проводимость пласта |
\beta = \phi c_t | упругоемкость пласта |
\sigma = \frac{k \, h} {\mu} | гидропроводность пласта |
\chi = \frac{\alpha}{\beta}= \frac{k} {\mu} \frac{1}{\phi c_t} | пьезопроводность пласта |