...
Проводимость пласта в общем случае является функцией координат, пластового давления и пространственного градиента давления:
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \alpha = \alpha({\bf r}, p, |\nabla p|) |
|---|
|
то есть формирует нелинейную связь между скоростью потока, давлением в пласте и градиентом давления в пласте (см.
Non-linear single-phase diffusion models). Тем не менее, для широкого круга задач проводимость пласта остается примерно постоянной в течении исследуемого интервала времени.
Уравнение непрерывности флюида в процессе движенияContinuity equation for the fluid transport:
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | Continuity |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m(t, {\bf r}) |
...
где
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | q(t, r) = \frac{d}{dt} \big( \frac{\delta V_{fl}}{ \delta V } \big) |
|---|
|
– скорость изменения относительного объема флюида в пластовых условиях за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин)
....
| title | Вывод уравнения непрерывности |
|---|
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d \, \delta M}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d \rho_{\delta V}}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} {\bf j}_m \, dS |
...
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | {\bf j}_m = \frac{dm}{dt \, dS} {\bf e}_{\bf u} = \rho \, {\bf u} |
|---|
|
...
...
...
...
...
...
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \delta M = \delta m_{rock} + \delta m |
|---|
|
...
В процессе фильтрации изменением плотности материала пород можно пренебречь по сравнению с изменениями плотности флюида и, следовательно, масса скелета пород в данном объеме не меняется
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{d \, \delta m_{rock}}{ dt} =0 |
|---|
|
т. е. | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{d \, \delta M}{ dt} = \frac{d \, \delta m}{ dt} |
|---|
|
.При этом плотность среды
выражается через плотность флюида как | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{ d\rho_{\delta V} }{dt}= \frac{ d (\rho \phi) }{dt} |
|---|
|
.Тогда закон сохранения массы среды запишется в виде:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d (\rho \phi)}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS |
Выражая поверхностный интеграл через объемный
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS = \int_{\delta V} \nabla \cdot (\rho {\bf u}) dV |
получим закон сохранения массы в виде:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV |
Обозначим изменение массы флюида в выделенном объеме пласта за счет внешних источников через скорость
притока массы | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{ d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV |
|---|
|
и перепишем закон сохранения массы как| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV |
и в силу произвольности выбора объема
сплошной среды можно переписать закон сохранения массы в дифференциальном виде как| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m |
...
.
Зависимость плотности флюида от давления в данной точке пласта
считается известной из уравнение состояние флюида (PVT-модели).
...
