...

Проводимость пласта в общем случае является функцией координат, пластового давления и пространственного градиента давления:

LaTeX Math Inline
body \alpha = \alpha({\bf r}, p, |\nabla p|)

  то есть формирует нелинейную связь между скоростью потока, давлением в пласте и градиентом давления в пласте (см. Нелинейные модели однофазной фильтрации Non-linear single-phase diffusion models). Тем не менее, для широкого круга задач проводимость пласта остается примерно постоянной в течении исследуемого интервала времени.

 

Уравнение непрерывности флюида в процессе движения:

...

Expand
title Вывод уравнения непрерывности
Рассмотрим элементарный объем сплошной среды LaTeX Math Inline body \delta V с поверхностью LaTeX Math Inline body \delta \Sigma и массой LaTeX Math Inline body \delta M . Пусть в этом объеме за время LaTeX Math Inline body dt изменится масса сплошной среды за счет внешних источников (например, за счет притока флюида из ствола скважины, который вскрыл объем LaTeX Math Inline body \delta V ). Изменение массы LaTeX Math Inline body d \, \delta M  сплошной среды в этом объеме за время LaTeX Math Inline body dt приводит к изменению плотности среды LaTeX Math Inline body d \rho_V \, \delta V за то же время и притоку/оттоку флюида через поверхность объема LaTeX Math Inline body \delta V за то же время: LaTeX Math Block anchor 1 alignment left \frac{d \, \delta M}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d \rho_{\delta V}}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} {\bf j}_m \, dS где LaTeX Math Inline body {\bf j}_m = \frac{dm}{dt \, dS} {\bf e}_{\bf u} = \rho \, {\bf u} , где LaTeX Math Inline body \rho – плотность флюида, LaTeX Math Inline body \bf u – вектор скорости потока флюида. В случае порового коллектора насыщенного флюидом, масса сплошной среды в объеме LaTeX Math Inline body \delta V можно представить как сумму массы скелета пород LaTeX Math Inline body \delta m_{rock} и массы флюида в порах LaTeX Math Inline body \delta m : LaTeX Math Inline body \delta M = \delta m_{rock} + \delta m . В процессе фильтрации изменением плотности материала пород можно пренебречь по сравнению с изменениями плотности флюида и, следовательно, масса скелета пород в данном объеме не меняется LaTeX Math Inline body \frac{d \, \delta m_{rock}}{ dt} =0 т. е. LaTeX Math Inline body \frac{d \, \delta M}{ dt} = \frac{d \, \delta m}{ dt} . При этом плотность среды LaTeX Math Inline body \rho_{\delta V} выражается через плотность флюида как LaTeX Math Inline body \frac{ d\rho_{\delta V} }{dt}= \frac{ d (\rho \phi) }{dt} . Тогда закон сохранения массы среды запишется в виде: LaTeX Math Block anchor 1 alignment left \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d (\rho \phi)}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS Выражая поверхностный интеграл через объемный LaTeX Math Block anchor 1 alignment left \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS = \int_{\delta V} \nabla \cdot (\rho {\bf u}) dV получим закон сохранения массы в виде: LaTeX Math Block anchor 1 alignment left \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV Обозначим изменение массы флюида в выделенном объеме пласта за счет внешних источников через скорость LaTeX Math Inline body q_m притока массы LaTeX Math Inline body \frac{ d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV и перепишем закон сохранения массы как   LaTeX Math Block anchor 1 alignment left \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV и в силу произвольности выбора объема LaTeX Math Inline body \delta V сплошной среды можно переписать закон сохранения массы в дифференциальном виде как LaTeX Math Block anchor 123 alignment left \frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m и называется уравнением непрерывности сплошной среды.

...

Зависимость плотности флюида от давления в данной точке пласта

LaTeX Math Inline
body \rho(p)

 считается известной из уравнение состояние флюида (PVT-модели).

...

где 

LaTeX Math Inline
body c_r = \frac{1}{\phi} \, \frac{\partial \phi}{\partial p}

 – сжимаемость порового коллектора,  

LaTeX Math Inline
body c = \frac{1}{\rho} \, \frac{\partial \rho}{\partial p}

 – сжимаемость флюида, 

LaTeX Math Inline
body c_t = c_r + c

 – общая сжимаемость пласта (коллектор + флюид) и следовательно 

LaTeX Math Inline
body \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} = \frac{d (\rho \phi)}{dp} \, \frac{\partial p}{\partial t} = \rho \, \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t}

 и уравнение непрерывности примет вид: 

LaTeX Math Block
anchor OG3NV alignment left
\rho \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) = \rho q(t, {\bf r})

...

Уравнение относится к категории уравнений первого порядка параболического типа и указывает на диффузионный характер отклика давления на воздействие внешних источников флюида.

 

Начальным условием служит произвольное распределение давления в пласте

LaTeX Math Inline
body p_0({\bf r})

 на момент начала работы источников

LaTeX Math Inline
body t = 0

: 

...

Уравнение 

LaTeX Math Block Reference
anchor MainPiezoEquation

 с начальным условием 

LaTeX Math Block Reference
anchor p0

 и граничным условием 

LaTeX Math Block Reference
anchor pBoundary

 представляют собой корректную краевую задачу, которая может решаться как аналитическими и численными методами.
 

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели

 

...