@wikipedia 

Motivation

In some specific subsurface applications which require the knowledge of subsurface temperature distributions the assumption of the Constant Areal Geothermal Temperature Profile is not valid and the problem requires a proper 3D modelling solution.

Outputs

Inputs

where

Assumptions

Equations

T_G(t, {\bf r}) = T_{GS}({\bf r})  + T_Y(t, z) + T_D(t, z)

G_T(z) = \frac{j_z}{\lambda_r(z)}

\rho_e \, c_e \frac{\partial T_G}{\partial t} + \nabla \left( \lambda_e \nabla T_G \right) = q({\bf r})

 T_

G(t, x, y, z = z_s) = T_s

(t,

 x, y)

\Big[ \lambda_e \nabla T_

G \

Big]_{z=z_{ref}} = {\bf j}(x,y, z = z_{ref})

G_T({\bf r}) = \frac{j_z({\bf r})}{\lambda_e({\bf r})

z_n = z_s + H_n

}

See Also

...

Geology / Geothermal Temperature Field

[ Constant Areal Geothermal Temperature Profile @model ] [ Geothermal Temperature Gradient ]

References

...

T_g(x,y,z) = T_{ref}(x,y) + \int_{z_{ref}}^z G_T(x,y,z) dz

G_T(z) =\frac{d T_g}{d z}= \frac{j_z}{\lambda_e}

\nabla  {\bf j} = 0  \quad \rightarrow \quad \partial_{\alpha} \, j_{\alpha} = 0

где

j_{\alpha}  = \lambda_{\, \alpha  \beta} \: \partial_{\beta} T_g

Как правило, теплопроводность имеет небольшую анизотропию вдоль и поперек горизонта залегания и в главных осях имеет вид:

\hat \lambda= \begin{pmatrix} 

\lambda_{\perp} & 0 & 0 \\ 

0 & \lambda_{\perp} & 0 \\

0 & 0 & \lambda_{||}

\end{pmatrix}

где

При анализе небольших по площади участков (десятки километров) можно пренебречь влиянием латерального теплового потока и анизотропией тензора теплопроводности и тогда, геотермическое распределение температуры в регионе можно записать как

\partial  j_z = 0  

откуда

\lambda_z(x,y,z) \, \partial_z \, T_g = j_z(x,y)

где

Интегрируя уравнение

Условия теплообмена на поверхности задаются опорной глубиной и температурой.

Понятие опорной глубины и температуры связано с тем, что верхний слой грунта не является стационарным во времени и подвержен дневным и сезонным колебаниям температуры, вызванным переменным влиянием солнца и атмосферных явлений.

Как правило, эти влияния проникают не глубже 20 – 30 м. 

Эта отметка

Именно ее и выбирают в качестве опорной для расчета температурного поля ниже опорной отметки.

Нейтральный слой

Математическая модель температуры грунта на произвольной глубине 

Однако полезность этих расчетов на коротких временах (сутки и даже месяцы) ограничивается спонтанностью входящих в модель параметров:

• волатильность степени солнечного потока в данном регионе в зависимости от облачности и степени поглощения/отражения поверхности земли
   
• волатильности атмосферных явлений (ветер и осадки)
   
• волатильности активности грунтовых вод

Для практических целей моделирования температуры пород выше нейтрального слоя вполне достаточно феноменологической корреляции [Kasuda, 1965]:

T(t, z) = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{srf}) + T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] \, \cos \bigg[  \, 2 \pi \frac{t - t_{min}}{\delta_T} + (z_{srf} -z) \sqrt {\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]

где

Волатильность теплообмена с атмосферой зашифрована в параметры   

Формула

По этой же формуле можно оценить глубину залегания нейтрального слоя (по пороговому значению погрешности температурных измерений):

z_{n_0} = z_{srf} + \sqrt{\frac{a_e \, \delta_T }{\pi}} \, \ln \frac{T_A }{\delta T_{err} }

где 

Для вывода формулы

T_{max} = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{ref}) + T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{ref}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]

T_{min} = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{ref}) - T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]

откуда получается  размах температурных колебаний на глубине  

\delta T_{max} = T_{max} - T_{min} =  2 T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]

\delta T_{err} = T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z_0}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]

 откуда и вытекает формула 

Геотерма скважины

Геотермическое распределение температуры 

T_g(l) = T_{n_0}(x,y) + \int_{z_{n_0}}^{z(l)} G_T(x,y,z) dz = T_{n_0}(x,y) + \int_{l_{n_0}}^l G_T(x,y,z(l)) \cos \theta dl 

где 

В регионах, где  нейтральный слой остается постоянным по площади

T_g(l) = T_{n_0} + (z(l) - z_{n_0})  \, G_T \, \sin \theta(l) 

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле

Наиболее популярные причины отклонения геотермического профиля от

к котором следует еще добавить техногенные  явления в процессе геотермических исследований:

Наиболее популярными причинами дрейфа геотермы или е отдельных участков  по площади являются:
 

земли