---

Рассмотрим протяженный по площади пласт с пористостью 

LaTeX Math Inline
body \phi(\bf r)

, проницаемостью 

LaTeX Math Inline
body k(\bf r)

, насыщенный однофазным флюидом,  залегающий на переменной глубине

LaTeX Math Inline
body z_{\rm top}({\bf r})

 и переменной толщиной

LaTeX Math Inline
body h({\bf r})

.

Под пластом понимается двухкомпонентная система = поровый коллектор + насыщающий поры флюид.

Флюид полагается однофазным и его фильтрационные характеристики сводятся к плотности 

LaTeX Math Inline
body \rho

, сжимаемости 

LaTeX Math Inline
body с = \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp}

 и вязкости 

LaTeX Math Inline
body \mu

, в общем случае зависящие от температуры и давления в данной точке пласта, которые определяются уравнением состояния данного флюида (PVT-моделью).

Рассмотрим фильтрацию  ньютоновской жидкости в изотермических условиях.

Уравнение движения в поровом коллекторе дается законом фильтрации Дарси:

LaTeX Math Block
anchor Darci alignment left
{\bf u}({\bf r}) = - \alpha \, ( \nabla p - \rho \, { \bf g})

где

LaTeX Math Inline
body \bf r

 – радиус-вектор точки пласта, где записана вышеуказанная связь, 

LaTeX Math Inline
body \alpha = \frac{k}{\mu}

 – проводимость пласта,  

LaTeX Math Inline
body {\bf g} = g \, {\bf e}_z

 – вектор ускорения свободного падения,

LaTeX Math Inline
body {\bf e}_z

 единичный орт к центру земли,  

LaTeX Math Inline
body g = 9.81 \, м^2/с

 – константа ускорения свободного падения на поверхности земли.

Формат появления проводимости 

LaTeX Math Inline
body \alpha = \frac{k}{\mu}

 в уравнении движения указывает на то, что динамика давления не способна различать вклад от проницаемости 

LaTeX Math Inline
body k

 пласта и вязкости 

LaTeX Math Inline
body \mu

 флюида по отдельности.

Формат связи вектора скорости потока и градиента давления в уравнении 

LaTeX Math Block Reference
anchor Darci

 говорит о мгновенной реакции потока во всем объеме пласта на изменения градиента давления в любой точке.
Это приближение справедливо только для достаточно медленных диффузионных процессов и часто нарушается для быстрых процессов, наблюдаемых на практике (см. реологическая фильтрация).

Проводимость пласта в общем случае является функцией координат, пластового давления и пространственного градиента давления:

LaTeX Math Inline
body \alpha = \alpha({\bf r}, p, |\nabla p|)

  то есть формирует нелинейную связь между скоростью потока, давлением в пласте и градиентом давления в пласте (см. Non-linear single-phase diffusion models). Тем не менее, для широкого круга задач проводимость пласта остается примерно постоянной в течении исследуемого интервала времени.

Continuity equation for the fluid transport:

LaTeX Math Block
anchor Continuity alignment left
\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m(t, {\bf r})

где 

LaTeX Math Inline
body q_m(t, r) = \frac{d}{dt} \big( \frac{\delta m_{fl}}{ \delta V } \big)

 – скорость изменения массы флюида на единицу объема пласта за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин), которую можно представить как:

LaTeX Math Block
anchor 1 alignment left
q_m(t, {\bf r}) = \rho({\bf r}) \, q(t, {\bf r})

где 

LaTeX Math Inline
body q(t, r) = \frac{d}{dt} \big( \frac{\delta V_{fl}}{ \delta V } \big)

 – скорость изменения относительного объема флюида в пластовых условиях за счет внешних источников (добывающих или нагнетательных скважин).

Зависимость плотности флюида от давления в данной точке пласта

LaTeX Math Inline
body \rho(p)

 считается известной из уравнение состояние флюида (PVT-модели).

Из уравнения состояния вытекает, что 

LaTeX Math Inline
body \frac{d (\rho \phi) }{dp} = \rho \frac{d \phi }{dp} + \frac{d \rho }{dp} \phi = \rho \phi \bigg[ \frac{1}{\phi} \frac{d \phi}{ dp} + \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{ dp} \bigg] = \rho \phi (c_r + c) = \rho \phi c_t

,

где 

LaTeX Math Inline
body c_r = \frac{1}{\phi} \, \frac{\partial \phi}{\partial p}

 – сжимаемость порового коллектора,  

LaTeX Math Inline
body c = \frac{1}{\rho} \, \frac{\partial \rho}{\partial p}

 – сжимаемость флюида, 

LaTeX Math Inline
body c_t = c_r + c

 – общая сжимаемость пласта (коллектор + флюид) и следовательно 

LaTeX Math Inline
body \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} = \frac{d (\rho \phi)}{dp} \, \frac{\partial p}{\partial t} = \rho \, \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t}

 и уравнение непрерывности примет вид:

LaTeX Math Block
anchor OG3NV alignment left
\rho \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) = \rho q(t, {\bf r})

Распишем дивергентный член:

LaTeX Math Block
anchor 240NM alignment left
\nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \nabla \rho \cdot {\bf u} = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \frac{d \rho}{dp} \, \nabla p \cdot {\bf u} =   \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho c \, \nabla p \cdot {\bf u} = \rho \big( \nabla \cdot {\bf u} + c \, \nabla p \cdot {\bf u} \big)

Подставляя это в уравнение непрерывности и сокращая плотность флюида получим:

LaTeX Math Block
anchor 7RS62 alignment left
\phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf u} + c \, \nabla p \cdot {\bf u} = q(t, {\bf r})

Подставляя скорость потока из

LaTeX Math Block Reference
anchor Darci

 в уравнение непрерывности получим окончательное уравнение на давление: 

LaTeX Math Block
anchor MainPiezoEquation alignment left
\phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) + q(t, {\bf r})

которое описывает динамику поля давления в пласте и называется основным уравнением однофазной ньютоновской пьезодинамики.

Уравнение относится к категории уравнений первого порядка параболического типа и указывает на диффузионный характер отклика давления на воздействие внешних источников флюида.

Начальным условием служит произвольное распределение давления в пласте

LaTeX Math Inline
body p_0({\bf r})

 на момент начала работы источников

LaTeX Math Inline
body t = 0

: 

LaTeX Math Block
anchor p0 alignment left
p(t=0, {\bf r}) = p_0({\bf r})

Граничное условие задается как на внешней границе пласта (которая может быть бесконечной и тогда в численных схемах она полагается достаточно удаленной от источников), на аквифере, так и на геологических неоднородностях (разломы, выклинивания и т.д.) и практически всегда представляет собой условие третьего рода

LaTeX Math Block
anchor pBoundary alignment left
\bigg[ a + b \, p(t, {\bf r}) + c \, {\bf n} \nabla p \bigg]_{\Gamma} = 0

где  

LaTeX Math Inline
body a, b, c

 – некие параметры, характеризующие давление и потоки на границе, определяемые физикой процесса.

Наиболее популярными являются:

Уравнение 

LaTeX Math Block Reference
anchor MainPiezoEquation

 с начальным условием 

LaTeX Math Block Reference
anchor p0

 и граничным условием 

LaTeX Math Block Reference
anchor pBoundary

 представляют собой корректную краевую задачу, которая может решаться как аналитическими и численными методами.
 

Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели