...
Проводимость пласта в общем случае является функцией координат, пластового давления и пространственного градиента давления:
LaTeX Math Inline |
---|
body | \alpha = \alpha({\bf r}, p, |\nabla p|) |
---|
|
то есть формирует нелинейную связь между скоростью потока, давлением в пласте и градиентом давления в пласте (см.
Нелинейные модели однофазной фильтрации Non-linear single-phase diffusion models). Тем не менее, для широкого круга задач проводимость пласта остается примерно постоянной в течении исследуемого интервала времени.
Уравнение непрерывности флюида в процессе движения:
...
Expand |
---|
title | Вывод уравнения непрерывности |
---|
|
Рассмотрим элементарный объем сплошной среды с поверхностью и массой .
Пусть в этом объеме за время изменится масса сплошной среды за счет внешних источников (например, за счет притока флюида из ствола скважины, который вскрыл объем ).
Изменение массы сплошной среды в этом объеме за время приводит к изменению плотности среды за то же время и притоку/оттоку флюида через поверхность объема за то же время: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{d \, \delta M}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d \rho_{\delta V}}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} {\bf j}_m \, dS |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | {\bf j}_m = \frac{dm}{dt \, dS} {\bf e}_{\bf u} = \rho \, {\bf u} |
---|
| , где – плотность флюида, – вектор скорости потока флюида.
В случае порового коллектора насыщенного флюидом, масса сплошной среды в объеме можно представить как сумму массы скелета пород и массы флюида в порах : LaTeX Math Inline |
---|
body | \delta M = \delta m_{rock} + \delta m |
---|
| .В процессе фильтрации изменением плотности материала пород можно пренебречь по сравнению с изменениями плотности флюида и, следовательно, масса скелета пород в данном объеме не меняется LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{d \, \delta m_{rock}}{ dt} =0 |
---|
| т. е. LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{d \, \delta M}{ dt} = \frac{d \, \delta m}{ dt} |
---|
| .При этом плотность среды выражается через плотность флюида как LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{ d\rho_{\delta V} }{dt}= \frac{ d (\rho \phi) }{dt} |
---|
| .Тогда закон сохранения массы среды запишется в виде: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d (\rho \phi)}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS |
Выражая поверхностный интеграл через объемный LaTeX Math Block |
---|
| \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS = \int_{\delta V} \nabla \cdot (\rho {\bf u}) dV |
получим закон сохранения массы в виде: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV |
Обозначим изменение массы флюида в выделенном объеме пласта за счет внешних источников через скорость притока массы LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{ d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV |
---|
| и перепишем закон сохранения массы как
LaTeX Math Block |
---|
| \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV |
и в силу произвольности выбора объема сплошной среды можно переписать закон сохранения массы в дифференциальном виде как LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m |
и называется уравнением непрерывности сплошной среды. |
...
Зависимость плотности флюида от давления в данной точке пласта
считается известной из уравнение состояние флюида (PVT-модели).
...
где
LaTeX Math Inline |
---|
body | c_r = \frac{1}{\phi} \, \frac{\partial \phi}{\partial p} |
---|
|
– сжимаемость порового коллектора,
LaTeX Math Inline |
---|
body | c = \frac{1}{\rho} \, \frac{\partial \rho}{\partial p} |
---|
|
– сжимаемость флюида,
– общая сжимаемость пласта (коллектор + флюид) и следовательно
LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} = \frac{d (\rho \phi)}{dp} \, \frac{\partial p}{\partial t} = \rho \, \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} |
---|
|
и уравнение непрерывности примет вид:
LaTeX Math Block |
---|
|
\rho \phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \rho {\bf u} \big) = \rho q(t, {\bf r}) |
...
Уравнение относится к категории уравнений первого порядка параболического типа и указывает на диффузионный характер отклика давления на воздействие внешних источников флюида.
Начальным условием служит произвольное распределение давления в пласте
на момент начала работы источников
:
...
LaTeX Math Block |
---|
| p(t, {\bf r}) \bigg|_{\Gamma} = p_{\Gamma}({\bf r}) |
|
Постоянное давление на границе |
LaTeX Math Block |
---|
| \nabla p \bigg|_{\Gamma} = 0 |
|
Непроницаемая граница |
Уравнение
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
с начальным условием
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
и граничным условием
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
представляют собой корректную краевую задачу, которая может решаться как аналитическими и численными методами.
Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели
|
|
---|
| |
---|
| толщина пласта, где протекает фильтрация |
| пористость пласта |
| фазовая проницаемость пласта для данного флюида |
| вязкость флюида |
LaTeX Math Inline |
---|
body | c_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dP} |
---|
|
| сжимаемость порового скелета |
LaTeX Math Inline |
---|
body | c = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dP} |
---|
|
| сжимаемость флюида |
| сжимаемость пласта |
| |
|
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | \alpha =\frac{k} {\mu} |
---|
|
| проводимость пласта |
| упругоемкость пласта |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \sigma = \frac{k \, h} {\mu} |
---|
|
| гидропроводность пласта |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \chi = \frac{\alpha}{\beta}= \frac{k} {\mu} \frac{1}{\phi c_t} |
---|
|
| пьезопроводность пласта |
...