Если в исследуемой системе давление и распределение насыщенности в пласте (как вблизи, так и вдали от скважин) не успели сильно измениться за время исследования, то можно принять, что коэффициенты уравнения

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=PZ could not be found on page with id=24283280.

не зависят от давления (рассчитываются при одном значении опорного давления в пласте) и нелинейная мультифазная фильтрация может быть представлена как линейная фильтрация некого эффективного однофазного флюида, называемая моделью Перрина (Perrine):

Linear pseudo single-phase form of multi-phase pressure diffusion:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi c_t \partial_t P - \nabla \big( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big) = q(\mathbf{r})\end{array}$

where

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G\end{array}$

total water, oil, gas sandface flowrate

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_w = B_w(P_{\rm ref}), \ B_o = B_o(P_{\rm ref}), \ B_g = B_g(P_{\rm ref})\end{array}$

объемный фактор воды, нефти и газа при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{vn} = \frac{R_v B_o}{B_g} \bigg\| _{P_{\bf ref}} \ , \quad R_{sn} = \frac{R_s B_g}{B_o} \bigg\| _{P_{\bf ref}} \ , \quad R_{vp} = \frac{\dot R_v B_o}{B_g} \bigg\| _{P_{\bf ref}} \ , \quad R_{sp} = \frac{\dot R_s B_g}{B_o} \bigg\| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

нормированные обменные коэффициенты межфазного обмена при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle s(\mathbf{r}) = \{ s_w(\mathbf{r}), \ s_o(\mathbf{r}), \ s_g(\mathbf{r}) \}\end{array}$

распределение насыщенности водяной, нефтяной и газовой фаз в объеме пород

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t(s) = c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g\end{array}$

эффективная сжимаемость пласта с мультифазным насыщением как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(7)

$\begin{array}{l}\displaystyle с_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d \phi}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad с_w = \frac{1}{\rho_w} \frac{d \rho_w}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad с_o = \frac{1}{\rho_o} \frac{d \rho_o}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}, \quad с_g = \frac{1}{\rho_g} \frac{d \rho_g}{dP} \bigg| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

сжимаемости породы, воды, нефти и газа при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle \beta = \phi \, c_t \bigg\| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

упругоемкость мультифазного пласта

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha(s) = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle = \alpha_w(s) + \alpha_o(s) \big( 1 + R_{sn} \big) + \alpha_g(s) \big( 1 + R_{vn} \big)\end{array}$

эффективная проводимость пород как функция насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_w = k_a \alpha_{rw}(s), \quad \alpha_o = k_a \alpha_{ro}(s), \quad \alpha_g = k_a \alpha_{rg}(s)\end{array}$

фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle k_a(\mathbf{r}) \bigg\| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

распределение воздушной проницаемости пласта в объеме пород

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{rw}(s) = \frac{k_{rw}(s)}{\mu_w}, \quad \alpha_{ro}(s) = \frac{k_{ro}(s)}{\mu_o}, \quad \alpha_{rg}(s) = \frac{k_{rg}(s)}{\mu_g}\end{array}$

относительные фазовые проводимости пласта по каждой фазе как функции насыщенности при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mu_w = \mu_w(P_{\bf ref}), \quad \mu_o = \mu_o(P_{\bf ref}), \quad \mu_g = \mu_g(P_{\bf ref})\end{array}$

вязкость воды, нефти и газа при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }\end{array}$

гравитационная компонента потока при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_w = \rho_w(P_{\rm ref}), \ \rho_o = \rho_o(P_{\rm ref}), \ \rho_g = \rho_g(P_{\rm ref})\end{array}$

плотность воды, нефти а газа при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(16)	$\begin{array}{l}\displaystyle g = 9.81 \ \textrm{m} / \textrm{s}^2\end{array}$

ускорение свободного падения (константа)

(17)	$\begin{array}{l}\displaystyle \chi = \frac{\alpha}{\beta} = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \frac{1}{\phi c_t} \bigg\| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

пьезопроводность пласта при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(18)	$\begin{array}{l}\displaystyle \sigma = \alpha \ h = \Big \langle \frac{k} {\mu} \Big \rangle \ h \bigg\| _{P_{\bf ref}}\end{array}$

гидропроводность пласта при опорном давлении $\begin{array}{l}P_{\bf ref}\end{array}$

(19)	$\begin{array}{l}\displaystyle h\end{array}$

толщина пласта

Reference

Perrine, R.L. 1956. Analysis of Pressure Buildup Curves. Drill. and Prod. Prac., 482. Dallas, Texas: API.
Martin, J.C. 1959. Simplified Equations of Flow in Gas Drive Reservoirs and the Theoretical Foundation of Multiphase Pressure Buildup Analyses. SPE-1235-G. Trans., AIME, 216: 321–323.

Page tree

Linear Perrine multi-phase diffusion @model derivation

Reference