Table. 1. Notations and Definitions 1 | | площадь боковой грани элементарной ячейки | 2 | | объем элементарной ячейки | 4 | | плотность флюила | 5 | | пористость породы | 6 | | давление флюида | 7 | | масса флюида | 8 | | проницаемость породы | 9 | | взякость флюида | 10 | | гидропроводность пласта | 11 | , | векторное поле, характеризующее скорость движения флюида в пространстве. |
| | линейная скорость потока | 12 | | сжимаемость породы (скелета) | 13 | | сжимаемость флюида | 14 | | полная сжимаемость |
Consider the Cartesian coordinates in 3D space: and its infinitesimal volumetric element: with volume bounded by six faces: which have the same area along corresponding axis: \delta A(\delta \Sigma_x) = \delta A(\Sigma_{x+\delta x }) = \delta A_{yz} = \delta y \cdot \delta z |
\delta A(\delta \Sigma_y) = \delta A(\Sigma_{y+\delta y }) = \delta A_{xz} = \delta x \cdot \delta z |
\delta A(\delta \Sigma_z) = \delta A(\Sigma_{z+\delta z }) = \delta A_{xy} = \delta x \cdot \delta y |
Consider the volumetric element is filled with porous media with porosity saturated by fluid with density . The pore volume is going to be and the fluid mass contained in this volume is . The mass flowrate through any face with area is defined as: \frac{dm}{dt} \Big|_{\delta \Sigma} = {\bf j} \, {\bf \delta A} |
where | vector area | | normal vector to elementary area | | mass flux vector | | fluid flow velocity |
The total mass balance of the volumetric element honours the mass conservation: \frac{dm}{dt} \Big|_{\delta \Omega} = \sum_{\alpha} j_{\alpha}A_{\alpha} + \delta \dot m_q |
\frac{dm}{dt} \Big|_{\delta \Omega} =
j_x|_{x}\cdot \delta A_{yz} - j_x|_{x+\delta x}\cdot \delta A_{yz} +j_y|_{y}\cdot \delta A_{xz} - j_y|_{y+\delta y}\cdot \delta A_{xz} +
j_z|_{z}\cdot \delta A_{xy} - j_z|_{z+\delta z}\cdot \delta A_{xy} + \delta \dot m_q |
where | the rate of the mass variation which happens inside the volumetric element |
Dividing the by the volume : \frac{dm}{dt \, \delta V} \Big|_{\delta \Omega} = \frac {\partial (\rho \, \phi)}{\partial t} = \frac{j_x|_x - j_x|_{x+\delta x}}{\delta x} + \frac{j_y|_y - j_y|_{y+\delta y}}{\delta y} + \frac{j_z|_z - j_z|_{z+\delta z}}{\delta z} + \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} |
or in differential form: \frac{\partial}{\partial t}(\rho \Phi) = - \nabla \cdot {\bf j} + \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} |
\frac{\partial}{\partial t}(\rho \Phi) + \nabla \cdot {\bf j} = \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} |
The mass rate generated/consumed inside the volumetric element by a finite number of sources can be expressed as: \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} = \sum_k q({\bf r}) \cdot \delta({\bf r}-{\bf r}_k) |
where | distribution of volumetric rates of the sources/stocks |
\frac{\partial}{\partial t}(\rho \Phi) + \nabla \cdot (\rho \, {\bf u}) = 0 |
1 | | | 2 |
|
| 3 | | Consider the mass flow rate balance along the Рассмотрим приращение массы в элементарном кубе объема . Предполагаем, что в самой ячейке нет источников, знак минус появляется за счет того, что нормали к противоположным граням кубика противонаправлены. | 4 | | Разделим ур-ние (1) на объем ячейки | 5 | | Ур-ние (2) есть развернутая форма записи ур-ния (3) | 6 | | Классическое уравнение непрерывности | 7 | | Вспоминаем определение (4) поля | 8 | | Феноменологический закон Дарси, связывающий скорость потока с градиентом давления | 9 | | Подставляем ур-ние (6) в ур-ние (5) | 10 | Здесь и далее работаем в приближении - процесс изотермический
- плотность флюида и пористость породы не зависят от времени явно
| 11 | | Распишем временную производную в ур-нии (7) | 12 | | Распишем дивергенцию ур-ния (7) | 13 | | В ур-нии (9) вспоминаем, что плотность флюида явно зависит только от давления, соответственно градиент плотности представляет через градиент давления | 14 | | Перепишем ур-ние (7), используя конечные соотношения в (10) и (8), и определения для (6) и (7) | 15 | | Классическая запись уравнения диффузии в приближении изотермического процесса и независимости от времени плотности флюида и пористости породы. Правая часть уравнения представляет собой сумму двух частей. Первая отвечает за пространственное распределение давления, вторая же содержит множителем сжимаемость флюида. |
|