The general form of non-linear single-phase pressure diffusion @model is given by:
\phi \cdot c_t \cdot \partial_t p - \nabla \left( M \cdot ( \nabla p - \rho \cdot \mathbf{g} ) \right) - c \cdot M \cdot (\nabla p)^2 = \sum_k q({\bf r}) \cdot \delta({\bf r}-{\bf r}_k) |
The alternative form is:
\phi \cdot c_t \cdot \mu \cdot \partial_t \Psi -
\nabla \cdot \left( k \cdot ( \vec \nabla \Psi - \frac{\rho^2}{\mu} \, {\bf g} ) \right)
= \sum_k q({\bf r}) \cdot \delta({\bf r}-{\bf r}_k) |
Table. 1. Notations and Definitions 1 | | площадь боковой грани элементарной ячейки | 2 | | объем элементарной ячейки | 4 | | плотность флюила | 5 | | пористость породы | 6 | | давление флюида | 7 | | масса флюида | 8 | | проницаемость породы | 9 | | взякость флюида | 10 | | гидропроводность пласта | 11 | , | векторное поле, характеризующее скорость движения флюида в пространстве. |
| | линейная скорость потока | 12 | | сжимаемость породы (скелета) | 13 | | сжимаемость флюида | 14 | | полная сжимаемость |
Consider the elementary volume of the fluid bounded by the six faces: which have the same area along corresponding axis: A(\Sigma_x) = A(\Sigma_{x+\delta x }) = A_{yz} = \delta y \cdot \delta z |
A(\Sigma_y) = A(\Sigma_{y+\delta y }) = A_{xz} = \delta x \cdot \delta z |
A(\Sigma_z) = A(\Sigma_{z+\delta z }) = A_{xy} = \delta x \cdot \delta y |
Let fluid density be being distributed through porous media with porosity . This elementary volume is holding the mass: The mass flowrate through the elementary area is going to be: \frac{dm}{dt} \Big|_{\delta A} = {\bf j} \, {\bf \delta A} |
where | vector area | | normal vector to elementary area | |
|
1 | | | 2 |
|
| 3 | | Consider the mass flow rate balance along the Рассмотрим приращение массы в элементарном кубе объема . Предполагаем, что в самой ячейке нет источников, знак минус появляется за счет того, что нормали к противоположным граням кубика противонаправлены. | 4 | | Разделим ур-ние (1) на объем ячейки | 5 | | Ур-ние (2) есть развернутая форма записи ур-ния (3) | 6 | | Классическое уравнение непрерывности | 7 | | Вспоминаем определение (4) поля | 8 | | Феноменологический закон Дарси, связывающий скорость потока с градиентом давления | 9 | | Подставляем ур-ние (6) в ур-ние (5) | 10 | Здесь и далее работаем в приближении - процесс изотермический
- плотность флюида и пористость породы не зависят от времени явно
| 11 | | Распишем временную производную в ур-нии (7) | 12 | | Распишем дивергенцию ур-ния (7) | 13 | | В ур-нии (9) вспоминаем, что плотность флюида явно зависит только от давления, соответственно градиент плотности представляет через градиент давления | 14 | | Перепишем ур-ние (7), используя конечные соотношения в (10) и (8), и определения для (6) и (7) | 15 | | Классическая запись уравнения диффузии в приближении изотермического процесса и независимости от времени плотности флюида и пористости породы. Правая часть уравнения представляет собой сумму двух частей. Первая отвечает за пространственное распределение давления, вторая же содержит множителем сжимаемость флюида. |
|
|
Physical models of pressure diffusion can be split into two categories: Newtonian and Rheological (non-Newtonian) based on the fluid stress model.
Mathematical models of pressure diffusion can be split into three categories: Linear, Pseudo-linear and Non-linear.
These models are built using Numerical, Analytical or Hybrid pressure diffusion solvers.
Many popular 1DR solutions can be approximated by Radial Flow Pressure Diffusion @model which has a big methodological value.
The simplest analytical solutions for pressure diffusion are given by 1DL Linear-Drive Solution (LDS) and 1DR Line Source Solution (LSS)
The table below shows a list of popular well and reservoir pressure diffusion models.
See also
Pressure diffusion / Pressure Diffusion @model