1

1DL low-compressibility diffusion in infinite homogeneous reservoir

Рассмотрим плоскопараллельный однородный пласт постоянной толщины  ограниченный в горизонтальной плоскости полосой ширины   с координатой  вдоль полосы, которая вскрыта горизонтальной скважиной в точке  по всей ширине полосы (например, компартмент между двумя параллельными непроницаемыми разломами) и начальным пластовым давлением .

Пусть  в момент времени  скважина запускается с дебитом  (в пластовых условиях).

Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного линейного течения в бесконечном однородном пласте

\frac{\partial p}{\partial t}  = \chi \, \frac{d^2 p}{dx^2}

с начальным условием 

p(t = 0, x) = p_i

и граничными условиями

p(t, x \rightarrow \infty ) = p_i

\frac{\partial p(t, x )}{\partial x} \bigg|_{x \rightarrow 0} = \frac{q_t}{\sigma \, d}

где  – гидропроводность пласта,  – пьезопроводность пласта,  – проницаемость пласта,  – пористость пласта,  – сжимаемость пласта,  – сжимаемость порового объема трещины,  – сжимаемость флюида, насыщающего пласт,  – вязкость флюида, насыщающего пласт.

Решение этого уравнения дается следующим выражением:

p(t,x) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \bigg[ \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}} \exp \bigg( -\frac{x^2}{4 \chi t} \bigg) - x \, \bigg[ 1- {\rm erf} \bigg(\frac{x}{\sqrt{4 \, \chi \, t}} \bigg) \bigg]  \bigg]

В стволе  скважины () динамика давления будет описываться следующей формулой:

p_{wf}(t) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \,  \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}} 

Отсюда следует что динамическая депрессия на пласт растет пропорционально квадратному корню из времени

\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim t^{1/2}

равно как  и ее логарифмическая производная

t \frac{d (\delta p)}{dt}  \sim t^{1/2}

В лог-лог координатах депрессия и ее лог-производная будут иметь одинаковый слоп 1/2, что является характерным для линейно-одномерной фильтрации.

q