Motivation

One of the key problems in designing the pipelines and wells and controlling the fluid transport along is to predict the pressure along-hole pressure distribution during the stationary fluid transport.

In many cases the flow can be considered as Isothermal or Quasi-isothermal.

Pipeline flow simulator is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, gravity effects and fluid friction with pipeline walls.

Inputs & Outputs

Inputs	Outputs
Pipeline trajectory	along-pipe distribution of stabilised pressure
Pipeline cross-section area	along-pipe distribution of stabilised flow rate
Fluid density and fluid viscosity	along-pipe distribution of stabilised average flow velocity
Inner pipe wall roughness

Assumptions

Stationary fluid flow

Homogenous fluid flow

Isothermal or Quasi-isothermal conditions

Constant cross-section pipe area along hole

Equations

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_0^2 \, q_0^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_0^2 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

u(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p) \cdot A(l)}

Approximations

Incompressible fluid with constant friction

Pressure profile

Pressure gradient profile

p(l) = p_0 + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_0 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \, f_0 \, l

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \cos \theta(l) - \frac{\rho_0 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \, f_0

where

correction factor for trajectory deviation

The first term in defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:

Профиль давления

В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяют

условию баланса массы движущегося потока:

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}

где

	длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности
	профиль плотности воды
	профиль угла наклона скважины к горизонту
	профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток
	профиль поперечного сечения ствола скважины
	профиль коэффициента трения Дарси
	ускорение свободного падения ( = 9.87 м²/сек )

Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.

Для несжимаемой жидкости в отсутствии трения уравнение принимает вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}

и может быть явно проинтегрировано:

p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta +  \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const

и называется уравнением Бернулли.

Если дебит скважины на устье составляет , а плотность воды на устье , то уравнение можно записать в следующем виде:

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

Подставляя в получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :

\sin \theta = \frac{dz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра и уравнение может быть переписано следующим образом:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления и, следовательно:

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где – сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

Функция определяется траекторией скважины.

Cжимаемость и плотность воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.

Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью.