Motivation

One of the key challenges in Pipe Flow Dynamics is to predict the along-hole temperature distribution during the stationary fluid transport.

In many practical cases the temperature distribution for the stationary fluid flow can be approximated by homogenous fluid flow model.

Pipeline Flow Temperature Model is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, pipeline schematic and heat transfer with the matter around pipeline.

Inputs & Outputs

Inputs	Outputs
Pipeline trajectory $\begin{array}{l}{\bf r} = {\bf r}(l) = \{ x(l), \, y(l), \, z(l) \}\end{array}$	along-pipe temperature $\begin{array}{l}T(t, l)\end{array}$ distribution
Pipeline cross-section area $\begin{array}{l}A(l)\end{array}$
Fluid density $\begin{array}{l}\rho(T, p)\end{array}$ and fluid viscosity $\begin{array}{l}\mu(T, p)\end{array}$
inflow temperature $\begin{array}{l}T_0(t)\end{array}$ , inflow pressure $\begin{array}{l}p_0\end{array}$ , inflow rate $\begin{array}{l}q_0\end{array}$
surrounding medium initial temperature $\begin{array}{l}T_g(l)\end{array}$ ,
surrounding medium specific heat capacity $\begin{array}{l}c_p(l)\end{array}$ , thermal conductivity $\begin{array}{l}\lambda_e(l)\end{array}$
heat transfer coefficient $\begin{array}{l}U(l)\end{array}$ based on pipeline schematic

Assumptions

Stationary fluid flow

Homogenous fluid flow

Equations

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_0^2 \, q_0^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_0^2 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}\end{array}$

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle u(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p) \cdot A(l)}\end{array}$

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle q(l) = \frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p)}\end{array}$

(see Derivation of Stationary Isothermal Homogenous Pipe Flow Pressure Profile @model )

Approximations

В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.

Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.

В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.

Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).

Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:

$\begin{array}{l}T(t, l)\end{array}$	температурный профиль потока воды вдоль ствола скважины $\begin{array}{l}l\end{array}$ , отсчитываемой вниз от поверхности
$\begin{array}{l}T_e(t, x, y, z)\end{array}$	распределение температуры в массиве горных пород $\begin{array}{l}( x, y, z )\end{array}$

Температурный профиль $\begin{array}{l}T(t, l)\end{array}$ потока воды ствола скважины формируется кондукцией и конвекцией вдоль потока и теплообменом с окружающими породами и описывается следующим уравнением:

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg) - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl}\end{array}$

с начальным условием:

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t=0, l) = T_g(l)\end{array}$

и граничным условием на поверхности:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l=0) = T_s(t)\end{array}$

Распределение температуры в массиве горных пород $\begin{array}{l}T_e(t, x, y, z)\end{array}$ формируется кондукцией горных породах и теплообменом со стволом скважины и описывается следующим уравнением:

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e)\end{array}$

с начальным условием:

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_e(t=0, l, r) = T_g(l)\end{array}$

и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l)\end{array}$

Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины $\begin{array}{l}T_g(l)\end{array}$ задается следующей моделью

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl\end{array}$

геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли $\begin{array}{l}j_e\end{array}$ и теплопроводностью пород $\begin{array}{l}\lambda_e(l)\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}j_e\end{array}$	величина регионального теплового потока из недр Земли (см. также Геотермия)
$\begin{array}{l}\lambda_e(l)\end{array}$	профиль теплопроводности пород вдоль траектории скважины
$\begin{array}{l}z_0\end{array}$	абсолютная отметка глубины залегания нейтрального слоя (обычно единицы )
$\begin{array}{l}l_0\end{array}$	отметка нейтрального слоя вдоль траектории скважины (обычно $\begin{array}{l}l_0 = z_0\end{array}$ так как начальные участки скважин не имеют сильного отклонения от вертикали)

В регионах, где геотермический градиент остается постоянным $\begin{array}{l}G_T(z) = \rm const\end{array}$ до глубины залегания продуктивных пластов, геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид:

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z\end{array}$

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле (12) может привести к значительным погрешностям.

Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо.

Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle 2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg\|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg\|_{r=r_w} - T \bigg)\end{array}$

где $\begin{array}{l}r\end{array}$ – радиальное направление к оси скважины.

Вывод условия теплообмена

Если между внутренней стенкой НКТ и внутренней стенкой скважины по долоту нет источников или стоков тепла, то линейная плотность радиального потока тепла $\begin{array}{l}\frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h}\end{array}$ (количество тепла переносимого вдоль радиального направления в единицу времени на метр длины скважины) будет сохраняться вдоль радиального направления.

Плотность радиального теплового потока между закачиваемой жидкостью и стенкой трубки НКТ может быть выражена через коэффициент теплопередачи $\begin{array}{l}U\end{array}$ между средами:

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f } = U \, \bigg( T_e \, \bigg\|_{r=r_w} - T \bigg)\end{array}$

Это по-сути эта формула является определением коэффициента теплопередачи.

Плотность радиального теплового потока между стенкой скважины и породами определяется законом теплопроводности Фурье:

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r}\end{array}$

Исключая из вышеприведенных уравнений линейную плотность теплового потока $\begin{array}{l}\frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h}\end{array}$ получим условие теплообмена (13).

Эта задача решается численными методами.

Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.

Одна из популярных аналитических моделей для стационарной ( $\begin{array}{l}q_s = {\rm const}, \quad T_s(t) = T_s = \rm const\end{array}$ ) закачки в скважину с постоянным наклоном ( $\begin{array}{l}\theta(l) = \rm const\end{array}$ ), в окружении акисально-симметричного однородного пласта

( $\begin{array}{l}\rho_e = {\rm const}, \lambda_e (l) = {\rm const}, \, c_e (l) = {\rm const}\end{array}$ ) с постоянным геотермическим градиентом $\begin{array}{l}G_T(z) = \rm const\end{array}$ вдали от поверхности $\begin{array}{l}l \, \sin \theta \gg r_w\end{array}$ , дается следующей формулой (Ramey, 1962):

(16)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta + \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big) \, e^{ - l/R(t)}\end{array}$

где

(17)	$\begin{array}{l}\displaystyle R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)\end{array}$

релаксационное расстояние

(18)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big]\end{array}$

безразмерная температура (Hasan, Kabir, 1994)

(19)	$\begin{array}{l}\displaystyle t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2}\end{array}$

безразмерное время

(20)	$\begin{array}{l}\displaystyle a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e}\end{array}$

температуропроводность пород

$\begin{array}{l}\lambda_e\end{array}$

теплопроводность пород

$\begin{array}{l}с_e\end{array}$

объемная теплопроводжность пород при постоянном давлении

$\begin{array}{l}\rho_e\end{array}$

плотность пород

$\begin{array}{l}T_s\end{array}$

температура закачиваемого флюида на поверхности

$\begin{array}{l}r_f = d/2\end{array}$

радиус трубы вдоль контрой идет движение флюида

$\begin{array}{l}r_w\end{array}$

радиус скважины по долоту

$\begin{array}{l}G_T = \frac{dT_G}{dz}\end{array}$

геотермический градиент невозмущенных пород

$\begin{array}{l}q\end{array}$

дебит скважины на устье

$\begin{array}{l}\rho\end{array}$

плотность закачиваемого флюида

$\begin{array}{l}U\end{array}$

коэффициент теплопередачи между закачиваемым флюидом и породами

q

При больших дебитах скважины формула (17) предсказывает малое значение $\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ и следовательно в экспоненте формулы (16) можно удержать только линейный член разложения по $\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ :

(21)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}}\end{array}$

откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины $\begin{array}{l}q_s\end{array}$ , что соответствует практическим наблюдениям.

При малых дебитах скважины формула (17) предсказывает большое значение $\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ и следовательно экспонентой в формуле (16) можно пренебречь:

(22)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - q_s \, \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)\end{array}$

то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.

Также формула (18) предсказывает логарифмический рост $\begin{array}{l}T_D(t)\end{array}$ со временем:

(23)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D )\end{array}$

и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение $\begin{array}{l}T_D(t) \gg \frac{\lambda}{r_f \, U}\end{array}$ , то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям.

Таким образом, значение радиуса НКТ и коэффициента теплопередачи оказывает основное влияние на скорость прогрева потока воды на начальном участке времени после включения скважины.

На больших же временах скважины с разными конструкциями и разными коэффициентами теплопередачи имеют схожую динамику и распределение температуры по стволу, которая определяется только дебитом скважины, геотермой и температуропроводностью пород.

Таким образов формула (16) работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.