Darcy friction factor $\begin{array}{l}f\end{array}$ depends on flow regime, as well as shape and roughness $\begin{array}{l}\epsilon\end{array}$ of inner pipe walls.

For a smooth ( $\begin{array}{l}\epsilon = 0\end{array}$ ) tubular pipeline Darcy friction factor $\begin{array}{l}f\end{array}$ can be estimated from various empirical correlations :

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 64 \, \rm Re^{-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}\rm Re < 2,100\end{array}$

Laminar fluid flow

нет стабильных корреляций

$\begin{array}{l}2,100 < \rm Re < 4,000\end{array}$

Laminar-turbulent transition fluid flow

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 0.32 \, \rm Re^{-0.25}\end{array}$

$\begin{array}{l}4,000 < \rm Re < 50,000\end{array}$

Turbulent fluid flow

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 0.184 \, \rm Re^{-0.2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\rm Re > 50,000\end{array}$

Strong-turbulent fluid flow

where

$\begin{array}{l}{\rm Re}(l) = \frac{d \, v \, \rho}{\mu}\end{array}$	Reynolds number
$\begin{array}{l}d(l)\end{array}$	Inner diameter of a pipe
$\begin{array}{l}\mu(l) = \mu( \, p(l), \, T(l) \,)\end{array}$	dynamic fluid viscosity as function $\begin{array}{l}\mu(p, T)\end{array}$ of pressure $\begin{array}{l}p(l)\end{array}$ and temperature $\begin{array}{l}T(l)\end{array}$ along the pipe

For non-smooth pipelines $\begin{array}{l}\epsilon > 0\end{array}$ the Darcy friction factor $\begin{array}{l}f\end{array}$ can be estimated from empirical Colebrook–White implicit correlation which works for non-laminar flow:

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d} + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg)\end{array}$

There are numerous approximation of

Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения (4), в частности следующая (Monzon, Romeo, Royo, 2002):

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg) \bigg]^{-2}\end{array}$

где $\begin{array}{l}\Lambda\end{array}$ – безразмерный параметр, рассчитываемый по формуле:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[ \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg]\end{array}$

Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} } \Bigg]^{1/12}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\Theta_1 = \Bigg[ 2.457 \, \ln \Bigg( \bigg( \frac{7}{\rm Re} \bigg)^{0.9} + 0.27 \, \frac{\epsilon}{d} \Bigg) \Bigg]^{16}\end{array}$ и $\begin{array}{l}\Theta_2 = \Big( \frac{37530}{\rm Re} \Big)^{16}\end{array}$ .

Typical surface roughness of a factory steel pipelines is $\begin{array}{l}\epsilon\end{array}$ = 0.05 mm which may increase significantly under mineral sedimentation or erosive impact of the flowing fluids.

See Surface roughness for more data on typical values for various materials and processing conditions.

Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы (2) видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в $\begin{array}{l}10^{0.25} = 1.8\end{array}$ раз.

Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.

Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: $\begin{array}{l}f = f(\rm Re(p))\end{array}$ .

При этом число Рейнольдса $\begin{array}{l}{\rm Re} = \frac{d \, \rho \, v}{\mu}\end{array}$ с учетом

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Arhov could not be found.

можно записать как:

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle {\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}\end{array}$

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью $\begin{array}{l}f = f(\mu(p))\end{array}$ , которая для воды имеет слабую зависисмость от давления в широких практических пределах:

δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10^-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10^-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).

Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).

Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой $\begin{array}{l}{\rm Re} = 230 \cdot \, q\end{array}$ , где $\begin{array}{l}q\end{array}$ дебит скважины на устье в м³/сут.

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м³/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.

А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным $\begin{array}{l}f = f_s = \rm const\end{array}$ .

Page tree

See also

Page tree

Darcy friction factor @model

See also