Darcy friction factor f depends on flow regime, as well as shape and roughness \epsilon of inner pipe walls.
For a smooth ( \epsilon = 0) tubular pipeline Darcy friction factor f can be estimated from various empirical correlations :
|
| Laminar fluid flow | ||
нет стабильных корреляций | 2,100 < \rm Re < 4,000 | |||
| 4,000 < \rm Re < 50,000 | |||
| \rm Re > 50,000 |
where
{\rm Re}(l) = \frac{d \, v \, \rho}{\mu} | |
d(l) | Inner diameter of a pipe |
\mu(l) = \mu( \, p(l), \, T(l) \,) | dynamic fluid viscosity as function \mu(p, T) of pressure p(l) and temperature T(l) along the pipe |
Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы
\epsilon (в мм)
(4) | \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d} + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg) |
Typical surface roughness of a factory steel pipelines is \epsilon = 0.05 mm which may increase exponentially under mineral sedimentation or erosive impact of the flowing fluids.
See Surface roughness for more data on typical values.
Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения (4), в частности следующая (Monzon, Romeo, Royo, 2002):
(5) | f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg) \bigg]^{-2} |
где \Lambda – безразмерный параметр, рассчитываемый по формуле:
(6) | \Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[ \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg] |
Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:
(7) | f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} } \Bigg]^{1/12} |
где
\Theta_1 = \Bigg[ 2.457 \, \ln \Bigg( \bigg( \frac{7}{\rm Re} \bigg)^{0.9} + 0.27 \, \frac{\epsilon}{d} \Bigg) \Bigg]^{16} и \Theta_2 = \Big( \frac{37530}{\rm Re} \Big)^{16}.
Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.
Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.
Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы (2) видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в 10^{0.25} = 1.8 раз.
Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.
Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: f = f(\rm Re(p)).
При этом число Рейнольдса
{\rm Re} = \frac{d \, \rho \, v}{\mu} с учетом
(8) | {\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)} |
отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью f = f(\mu(p)), которая для воды имеет слабую зависисмость от давления в широких практических пределах:
δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).
Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).
Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой {\rm Re} = 230 \cdot \, q , где q дебит скважины на устье в м3/сут.
Отсюда видно, что при дебитах более 18 м3/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.
А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным f = f_s = \rm const.
See also
Physics / Fluid Dynamics / Pipe Flow Dynamics / Darcy–Weisbach equation / Darcy friction factor