1DL low-compressibility diffusion in infinite homogeneous reservoir
Рассмотрим плоскопараллельный однородный пласт постоянной толщины
h ограниченный в горизонтальной плоскости полосой ширины
d с координатой
x вдоль полосы, которая вскрыта горизонтальной скважиной в точке
x=0 по всей ширине полосы (например, компартмент между двумя параллельными непроницаемыми разломами) и начальным пластовым давлением
p_i.
Пусть в момент времени
t = 0 скважина запускается с дебитом
q_t (в пластовых условиях).
Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного линейного течения в бесконечном однородном пласте
| (1) | \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{d^2 p}{dx^2} |
с начальным условием
| (2) | p(t = 0, x) = p_i |
и граничными условиями
| (3) | p(t, x \rightarrow \infty ) = p_i |
| (4) | \frac{\partial p(t, x )}{\partial x} \bigg|_{x \rightarrow 0} = \frac{q_t}{\sigma \, d} |
где \sigma = \frac{k \, h}{\mu} – гидропроводность пласта, \chi = \frac{k}{\mu} \, \frac{1}{\phi \, c_t} – пьезопроводность пласта, k – проницаемость пласта, \phi – пористость пласта, c_t = c_r + c – сжимаемость пласта, c_r – сжимаемость порового объема трещины, c – сжимаемость флюида, насыщающего пласт, \mu – вязкость флюида, насыщающего пласт.
Решение этого уравнения дается следующим выражением:
| (5) | p(t,x) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \bigg[ \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}} \exp \bigg( -\frac{x^2}{4 \chi t} \bigg) - x \, \bigg[ 1- {\rm erf} \bigg(\frac{x}{\sqrt{4 \, \chi \, t}} \bigg) \bigg] \bigg] |
В стволе скважины ( x=0) динамика давления будет описываться следующей формулой:
| (6) | p_{wf}(t) = p_i - \frac{q_t}{\sigma \, d} \, \sqrt{\frac{4 \chi t}{\pi}} |
Отсюда следует что динамическая депрессия на пласт растет пропорционально квадратному корню из времени
| (7) | \delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim t^{1/2} |
равно как и ее логарифмическая производная
| (8) | t \frac{d (\delta p)}{dt} \sim t^{1/2} |
В лог-лог координатах депрессия и ее лог-производная будут иметь одинаковый слоп 1/2, что является характерным для линейно-одномерной фильтрации.