Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины
h, с радиальной координатой
r в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке
r=0 (где – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением
p_i.
Пусть в момент времени
t = 0 скважина запускается с дебитом
q_t (в пересчете на пластовые условия).
Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте:
| (1) | \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) |
с начальным условием:
| (2) | p(t = 0, r) = p_i |
и граничными условиями:
| (3) | p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i |
| (4) | r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
где \sigma = \frac{k \, h}{\mu} – гидропроводность пласта, \chi = \frac{k}{\mu} \, \frac{1}{\phi \, c_t} – пьезопроводность пласта, k – проницаемость пласта, \phi – пористость пласта, c_t = c_r + c – сжимаемость пласта, c_r – сжимаемость порового коллектора, c – сжимаемость насыщающего пласт флюида, \mu – вязкость насыщающего пласт флюида.
Решение этого уравнения дается следующим выражением:
| (5) | p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) |
которое называется функцией линейного источника и часто обозначается LSS (Line-Source Solution).
При анализе отклика давления на самой скважине (
r = r_w ) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию:
| (6) | t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi} |
которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением {\rm Ei}(-x) \sim \ln (x) + \gamma \sim \ln (1.781 x), где \gamma = 0.5772 ... – постоянная Эйлера.
Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:
| (7) | p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) |
Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:
| (8) | \delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln t |
а логарифмическая производная становится постоянной во времени:
| (9) | t \frac{d (\delta p)}{dt} \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma} |
В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.